Esercizio forma canonica sistema tempo continuo

[claudio_p88]

un sistema lineare e stazionario a tempo continuo è descritto dalla seguente matrice di funzioni di trasferimento:
$W(s)=((frac{s+3}{s+2}),(frac{s+5}{s^2+5s+6}))$, si determini una realizzazione minima in forma canonica raggiungibile ed una in forma canonica osservabile. Ora so svolgere questo esercizio, con una funzione di trasferimento, come mi devo comportare in presenza di una matrice di questo genere con due funzioni di trasferimento? Risolvo prima una, poi l'altra e poi unisco i risultati in un' unica matrice?

[D4lF4zZI0]

Sembrerebbe la rappresentazione di un sistema MISO ( multi input - single output ); potrebbe anche essere la rappresentazione di un sistema MIMO, ma non si capisce.
In ogni caso, se fosse un sistema MISO, la $W(s)$ non prende il nome di funzione di trasferimento, ma di matrice di trasferimento e l'uscita la si può vedere in questa forma:
$ Y(s)=W(s)[ U_1(s) \ \ U_2(s) ]=[ ( (s+3)/(s+2) ),( (s+5)/(s^2+5s+6) ) ] [ U_1(s) \ \ U_2(s) ]=(s+3)/(s+2)U_1(s)+(s+5)/(s^2+5s+6)U_2(s) $

[claudio_p88]

Ed in questo caso come determino la forma canonica?

[claudio_p88]

Comunque sia so che per $frac{s+3}{s+2}=1+frac{1}{s+2$, dunque dovrei avere $A=-2, B=1, C =1, D =1$,
per $frac{s+5}{s^2+5s+6}$ avrò $A=((0,1),(-6,-5)) B= ((0),(1)) C=((5,1)) D= 0$, questa è la soluzione ho devo legare le due?

[D4lF4zZI0]

Ricordavo di averlo letto a suo tempo, si chiama metodo di Gilbert sulla rappresentazione minima delle mdt ( un paragrafo buttato nel libro ); penso che in rete lo trovi.
La tua matrice di trasferimento vale:
$ W(s)=(( (s+3)/(s+2) ),( (s+5)/((s+2)(s+3))) )=(( ( (s+3)^2 ),( (s+5) ) ))/((s+2)(s+3))=R_1/(s+2)+R_2/(s+3) $
Calcoliamo i due residui:
$ R_1=lim_(s -> -2)(s+2)W(s)= lim_(s -> -2)(( ( (s+3)^2 ),( (s+5) ) ))/(s+3)=( (1), (3) ) $
e
$ R_2=lim_(s -> -3)(s+3)W(s)= lim_(s -> -3)(( ( (s+3)^2 ),( (s+5) ) ))/(s+2)=( (0), (-2) ) $
Quindi la mdt di partenza la si può scrivere come:
$ W(s)=(( (1), (3) ))/(s+2)+(( (0), (-2) ))/(s+3) $
Fino a qui ho semplicemente semplificato la mdt.
Calcoliamo ora i ranghi dei residui:
$ { ( rho(R_1)=1 ),( rho(R_2)=1 ):} $
quindi la dimensione totale del sistema vale $ rho_T=sum(rho_i)=2 $
Ogni residuo lo si può vedere come prodotto di due matrici; in formule $ R_i=C_iB_i $; nel tuo caso, quindi si ha:
$ { ( R_1=C_1B_1=( (1), (3) ) =(1) ( ( 1 ),( 3 ) ) ),( R_2=C_2B_2=( (0), (-2) ) =(1) ( ( 0 ),( -2 ) ) ):} $
A questo punto ci siamo: dobbiamo solo ricostruire le quattro matrici.
La matrice $A$ del sistema è una matrice diagonale di ordine $rho_T$ e la diagonale è composta dai poli della fdt ( il generico polo compare $m$ volte se $m$ è la molteplicità del polo stesso ); quindi:
$ A=( ( -2 , 0 ),( 0 , -3 ) ) $
La matrice $B$ si ottiene prendendo le matrici $B_i$ dei residui, farne le trasposte e mettendole in riga; quindi:
$ { ( B_1=( (1), (3) ) ),( B_2= ( (0), (-2) )):} rArr B=( ( 1 , 3 ),( 0 , -2 ) ) $
Infine, la matrice $C$ la si ottiene dalle matrici $C_i$ dei residui:
$ C= ( C_1 \ \ C_2 )= ( 1 \ \ 1 ) $
La matrice $D$ al solito è nulla.
A questo punto, devi solo mettere il sistema in forma canonica di raggiungibilità e di osservabilità, ma questo lo sai fare da solo

[claudio_p88]

Allora, tutto chiarso sul metodo di Gilbert, però di solito quando risalgo alla forma canonica raggiungibile e osservabile, lo faccio con una sola funzione di trasferimento, come faccio in questo caso? inoltre se provo a calcolarmi la $W(s)=C(sI-A)^-1B$, con le matrici che hai calcolato non mi viene la stessa W(s) iniziale, infatti:
$W(s)=C(sI-A)^-1B=((1,1))((3+s,0),(0,2+s))((1,3),(0,-2))=frac{1}{(s+2)(s+3)}(3+s,5+s)$ perchè?

[D4lF4zZI0]

Vabbè è ovvio che se vuoi ritornare alla rappresentazione IU ritorni al punto di partenza.
Per quanto riguarda le forme canoniche, onestamente non saprei cosa dirti ( non mi sono mai trovato in una situazione simile ); probabilmente potresti portare in forma canonica separatamente le fdt...
In ogni caso, se l'esercizio è preso dal tuo libro di testo, dovrebbe esserci anche la teoria su come risolverlo

[claudio_p88]

Che é quello che ho fatto inizialmente... Comunque sono esercizi d'esame e purtroppo non ci é dato sapere la soluzione dal docente e sul libro di testo non se ne parla inoltre se cerco sul web non trovo molto a riguardo...

[D4lF4zZI0]

Guarda riflettendoci meglio, forse non è sbagliato come hai fatto tu, anzi forse è proprio la soluzione: separi le due fdt e le tratti singolarmente

[claudio_p88]

Almeno una volta ho azzeccato.