Esercizio convoluzione

[ste3191]

Ciao ragazzi, per risolvere l'esercizio ho applicato 2 metodi, soltanto che vorrei chiarire l'uso di alcune proprietà.

$\x(t)=5cos(2\pi1.5t)u(t)$
$\h(t)=20e^(-0.2t) u(t-4)$
$\4
1° metodo: calcolo classico della convoluzione..faccio traslare h(t)

$\int_0^(t-4) 100cos(2pi1.5\tau)*e^(-0.2(t-\tau)) d\tau $ $\=50e^(-0.2t)[(e^\(tau(0.2+i2\pi1.5)))/(0.2+i2\pi1.5) + (e^\(tau(0.2-i2\pi1.5)))/(0.2-i2\pi1.5)]_0^(t-4)$ $\= 50e^(-0.2t)[(e^\((t-4)(0.2+i2\pi1.5)))/(0.2+i2\pi1.5) + (e^\((t-4)(0.2-i2\pi1.5)))/(0.2-i2\pi1.5) - 1/(0.2+i2\pi1.5) - 1/(0.2-i2\pi1.5)]$

2° metodo: ho applicato la seguente proprietà $\F[x(t)$ * $\h(t)] = X(f)H(f)$

quindi trasformo h(t) -> $\H(f)= 20e^(4(0.2+i2\pif))/(0.2+i2\pif)$

$\X(f) = 5/2\delta(f+1.5)+5/2\delta(f-1.5)$

adesso devo anti-trasformare:

$\F^-1[H(f)X(f)] = int_-oo^(+oo) (20e^(4(0.2+i2\pif))/(0.2+i2\pif))(5/2\delta(f+1.5)+5/2\delta(f-1.5))e^(i2\pif) df $

Per la proprietà della convoluzione ad impulsi, il risultato sarà $\H(f)$ esattamente nella posizione dei due impulsi, quindi

$\(50e^(4(0.2+i2\pi1.5))e^(i2\pi1.5t))/(0.2+i2\pi1.5) + (50e^(4(0.2-i2\pi1.5))e^(-i2\pi1.5t))/(0.2-i2\pi1.5)$

ora ho dei dubbi a rigurado l'uso di queste proprietà, perchè l'esercizio dava $\4
Grazie mille!

[Blackorgasm]

a prescindere dai conti, puoi togliere la dipendenza esterna dal tempo mettendo ad entrambe le funzioni un bel $u(t-4)$, a quel punto $-oo

[ste3191]

ok...ma a livello di calcolo(in questo esercizio) non mi cambia niente un gradino a t=4 o no? è solo una scrittura formale quella che dici tu?!
Perchè sono i sbagliati gli estremi?? io ho capovolto l'esponenziale, e trasla da -4 fino a -4 +t, dato che da -4 a 0 la convoluzione è nulla, lo faccio partire direttamente da zero. Scusami sono i primi esercizi

[ste3191]

non c'è proprio nessuno???

[Blackorgasm]

non è una scrittura formale, se devi considerare i segnali solo per $4

Cita

Segnala

[ste3191]

ma se metto $\u(t-4)$ a $x(t)$ cambio il testo dell'esercizio ?!! O lo faccio per poter procedere come ho già fatto??

[Blackorgasm]

non cambi testo dell'esercizio, semplicemente riscrivi in maniera equivalente e più conveniente il segnale.
Esempio: considera un'oscillazione sinusoidale ad una certa frequenza $f_0$, che si estende tra $+-oo$. Supponiamo che un esercizio ti dica di osservare tale oscillazione per $0

[ste3191]

si, questo esempio è molto chiaro
ho pensato a questo: riscrivo $\h(t)$ così: $\h(t)=e^-(t+4)u(t)$ $\0

Cita

Segnala

[Blackorgasm]

aspetta, mi sa allora che non ho capito io il testo. Quali sono i segnali, e quali sono i loro rispettivi domini temporali? Quel $4

Cita

Segnala

[ste3191]

scusami $\4 $\x(t)=5cos(2\pi1.5t)u(t)$
$\h(t)=20e^(-0.2t)u(t-4)$

quello che dici tu sarebbe questo???: $\x(t)=5cos(2\pi1.5(t-4))u(t-4)$