Esercizio condensatori (fisica 2)
Salve a tutti ho un problema con questo esercizio sui condensatori. Dove mi viene chiesto di calcolare
1) La tensione VAB quando l interruttore è aperto , e l'energia elettrostratica del sistema
2) Quando T viene chiuso, calcolare la variazione di energia elettrostatica.
Il punto in cui mi blocco è il punto 1
mentre il punto 2 penso di averlo fatto giusto...
Aspetto vostre risposte con la spiegazione e vi ringrazio in anticipo
scusatemi se le immagini sono troppo grandi
1) La tensione VAB quando l interruttore è aperto , e l'energia elettrostratica del sistema
2) Quando T viene chiuso, calcolare la variazione di energia elettrostatica.
Il punto in cui mi blocco è il punto 1
mentre il punto 2 penso di averlo fatto giusto...
Aspetto vostre risposte con la spiegazione e vi ringrazio in anticipo
scusatemi se le immagini sono troppo grandi
Risposte
Sia $q_1$ la carica presente sul piatto superiore di $C_1$ sinistro, sia $q_2$ la carica presente su $C_2$ destro, per il principio di onservazione della carica sul piatto superiore di $C_2$ sinistro si ha una carica $q_1$ e sul piatto superiore di $C_1$ destro si ha una carica $q_2$. Si consideri il punto A e si arrivi al punto B passando sopra e sotto la maglia dei condensatori, dovendo essere la ddp $V_(AB)$ uguale nei due casi, si ha:
$V_(AB)=q_1/(C_1)-q_2/(C_2)=q_2/(C_1)-q_1/(C_2)$ da cui risulta:
$q_1(1/C_1+1/C_2)=q_2(1/C_1+1/C_2)$
Ossia:
$q_1=q_2=q$
Pertanto su tutti e quattro i condensatori è presente la medesima carica q, che si calcola facilmente considerando come C_1 e C_2 siano in serie a due a due, e quindi:
$q(1/C_1+1/C_2)=V_0$
Una volta trovato q si trova facilmente $V_(AB)$
$V_(AB)=q_1/(C_1)-q_2/(C_2)=q_2/(C_1)-q_1/(C_2)$ da cui risulta:
$q_1(1/C_1+1/C_2)=q_2(1/C_1+1/C_2)$
Ossia:
$q_1=q_2=q$
Pertanto su tutti e quattro i condensatori è presente la medesima carica q, che si calcola facilmente considerando come C_1 e C_2 siano in serie a due a due, e quindi:
$q(1/C_1+1/C_2)=V_0$
Una volta trovato q si trova facilmente $V_(AB)$
ti ringrazio... =)
Volendo essere precisi, la risposta corretta alla domanda relativa alla tensione $V_{AB}$ è qualsiasi. I nodi A e B sono isolati dal resto del circuito e nulla si sa sulla carica presente sugli stessi. Nulla si può dire quindi sulla differenza di potenziale e neppure sull'energia del sistema.
Anche alla seconda domanda, la risposta è la stessa: qualsiasi. Nulla si sa sull'energia immagazzinata a interruttore aperto, ma è possibile conoscere solo quella a interruttore chiuso. La differenza è quindi sconosciuta.
Un altro appunto va fatto sugli schemi postati come soluzione dell'esercizio: sono assolutamente errati. Dovrebbe apparire evidente dal fatto che il generatore risulta cortocircuitato.
Anche alla seconda domanda, la risposta è la stessa: qualsiasi. Nulla si sa sull'energia immagazzinata a interruttore aperto, ma è possibile conoscere solo quella a interruttore chiuso. La differenza è quindi sconosciuta.
Un altro appunto va fatto sugli schemi postati come soluzione dell'esercizio: sono assolutamente errati. Dovrebbe apparire evidente dal fatto che il generatore risulta cortocircuitato.
A me il mio procedimento pare corretto...
Anche a me. Il mio...
Prova a farti queste semplici domande:
1) Quante sono le variabili di stato del sistema?
2) Quanti sono i valori forniti?
Prova a farti queste semplici domande:
1) Quante sono le variabili di stato del sistema?
2) Quanti sono i valori forniti?
E quale sarebbe il tuo procedimento? Mostrami come tra A e B il sistema possa assumere due diversi potenziali e determina questi potenziali
L’errore nel procedimento adottato è nell’analisi del problema: una soluzione rigorosa impone la risposta “qualsiasi” ad entrambe le domande perché i dati forniti sono insufficienti ad un calcolo quantitativo.
Ci sono tre variabili di stato e un solo valore fornito, quindi il problema ammette infinite soluzioni. Questo, volendo essere rigorosi, come si dovrebbe sempre esserlo nell’affrontare i problemi di fisica.
Allargando un po’ la visuale, si può giungere alla conclusione che si tratta di un problema “mal posto” (piaga che affligge non pochi esercizi simili a quello di cui stiamo discutendo).
Leggendo nella mente dell’ideatore, vediamo come avrebbe dovuto essere posto l’esercizio per essere formalmente corretto.
Ci sono tre variabili di stato e un solo valore fornito, quindi il problema ammette infinite soluzioni. Questo, volendo essere rigorosi, come si dovrebbe sempre esserlo nell’affrontare i problemi di fisica.
Allargando un po’ la visuale, si può giungere alla conclusione che si tratta di un problema “mal posto” (piaga che affligge non pochi esercizi simili a quello di cui stiamo discutendo).
Leggendo nella mente dell’ideatore, vediamo come avrebbe dovuto essere posto l’esercizio per essere formalmente corretto.
- Si consideri il circuito di figura 1 nel quale sono conosciuti:
- $C_1$ = $C_4$ = 8 µF
- $C_2$ = $C_3$ = 4 µF
- $V_0$ = 300 V
Inizialmente i due interruttori $I_0$, $I_1$ siano aperti e i quattro condensatori $C_1$ – $C_4$ siano scarichi.
Si chiuda ora $I_0$ e si determinino:
1) la differenza di potenziale $V_{AB}$;
2) l’energia elettrostatica del sistema.
Si proceda con la chiusura di $I_1$ e si determini, rispetto alla condizione precedente,
3) la variazione di energia elettrostatica del sistema.[/list:u:27w0xybi]
Se il problema fosse stato posto in questo modo, allora si sarebbe potuto risolvere.
Io avrei fatto così:
Alla chiusura di $I_0$, il generatore vede una capacità
$C_{eq}= \frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}+\frac{1}{\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}}=\frac{16}{3} \mu F$
La determinazione dell’energia elettrostatica è ora immediata
$U=\frac{1}{2}\cdot C_{eq}\cdot V_0^{2}=240 mJ$
E questa è la risposta alla domanda 2).
La carica totale sulle armature in collegamento con il generatore sarà allora
$q_{ex}=C_{eq}\cdot V_0=1.6 mC$
equamente distribuita sui due rami composti dalle coppie $C_1$, $C_2$ e $C_3$, $C_4$ a ragione del fatto che le capacità dei due rami sono uguali.
La carica netta ai nodi A e B resta nulla in quanto nessuna carica può raggiungere quei nodi.
Si possono ora determinare le differenze di potenziale $V_{AC}$ e $V_{BC}$ come le tensioni ai capi di $C_3$ e rispettivamente $C_4$, conoscendo la carica sulle loro armature. Da queste di determina immediatamente la loro differenza
$V_{AB}=V_{AC}-V_{BC}=\frac{\frac{q_{ex}}{2}}{C_2}-\frac{\frac{q_{ex}}{2}}{C_4}=100 V$
E questa è la risposta alla domanda 1).
Quando $I_1$ è chiuso, la capacità equivalente cambia, divenendo
$C_{eq}'= \frac{1}{\frac{1}{C_1+C_3}+\frac{1}{C_2+C4}} =6 \mu F$
Il nuovo valore dell’energia elettrostatica è ora
$U'=\frac{1}{2}\cdot C_{eq}' \cdot V_0^{2}=270 mJ$
Da cui si ottiene la differenza
$\Delta U=U'-U=\frac{1}{2}\cdot V_0^{2} ( C_{eq}'-C_{eq} )=30 mJ$
E questa è la risposta alla domanda 3.
Note:
Nulla cambia riguardo gli schemi nel primo post che sono totalmente errati in ogni caso.
Non sono riuscito ad utilizzare alcuni funzionalità di LaTex, tra cui il comando per rendere "retti" i caratteri relativi alle unità di misura. Mi perdonino i puristi della forma.
Non capisco, il risultato a cui sei arrivato è uguale a quello a cui sono arrivato io. Qual è la differenza tra lo schema del circuito fatto da te e quello fatto dall'utente che ha fatto la domanda? Perché nel secondo caso il problema è irrisolubile? Si hanno gli stessi dati e le stesse incognite, se è irrisolubile prima perché non deve esserlo anche dopo?
"Vulplasir":
Qual è la differenza tra lo schema del circuito fatto da te e quello fatto dall'utente che ha fatto la domanda?
La presenza dell'interruttore $I_0$.
"Vulplasir":
Perché nel secondo caso il problema è irrisolubile?
Perché il sistema ammette qualsiasi differenza di potenziale $V_{AB}$.
"Vulplasir":
Si hanno gli stessi dati e le stesse incognite, se è irrisolubile prima perché non deve esserlo anche dopo?
No, non è vero. Non si hanno gli stessi dati. Nel problema "rivisitato" (come è stato posto da me), le parole chiave sono :
- Inizialmente i due interruttori $I_0$, $I_1$ siano aperti e i quattro condensatori $C_1$ – $C_4$ siano scarichi.[/list:u:1l23rcy1]
Queste informazioni determinano la condizione iniziale di tutte le variabili di stato del sistema, cosa che nella traccia dell'esercizio originario è disattesa.
Nota (un po' formale):
"Vulplasir":
... il risultato a cui sei arrivato è uguale a quello a cui sono arrivato io.
Anche questo non è vero: ottenere "lo tesso numero" non significa aver risolto ugualmente l'esercizio. Risolvere un esercizio è molto più di combinare tra loro i dati numerici di ingresso e ottenere un dato numerico in uscita (anche se questo rappresenta il valore atteso). Prima di tutto è necessario analizzare il sistema nel suo insieme, valutare se l'esercizio sia risolvibile e se gli eventuali risultati numerici abbiano senso. Nel caso specifico, il risultato che hai trovato è solo uno dei possibili risultati, ma qualsiasi altro numero sarebbe stato ugualmente corretto. Questi fatti devono essere capiti, evidenziati, e solo dopo ci si può immergere nei calcoli.
Inutili sofismi, pensavo ci fosse qualche questione che mi sfuggisse riguardo al problema e invece si tratta solo della presenza o no di un (inutile) interruttore in più che nulla cambia nella sostanza del problema.
"Vulplasir":
Inutili sofismi...
Sciatta approssimazione.
Io non ho fatto alcuna sciatta approssimazione, semmai l'ha fatta il libro (non si sa perché non è riportato il testo originale) o l'utente che ha posto la domanda, io ho solo "bypassato" alcune questioni che davo per scontato, come quella del fatto che i condensatori fossero scarichi e si chiedesse la $V_(AB)$ dopo il processo di scarica, ma mi rendo ora conto che non si tratta di questioni scontate.
E io non ho scritto che tu sia sciatto e/o approssimativo.
Ribadisco però che non considerare tutte le variabili di stato in un sistema è un comportamento sciatto e approssimativo che un ingegnere non dovrebbe mai adottare. Spesso gli errori si commettono proprio quando si dà per scontate questioni che magari appaiono tali, ma proprio non lo sono.
Gli esercizi (semplici) servono proprio per imparare il metodo che poi deve essere adottato nella soluzione dei sistemi complessi; partire con il piede sbagliato a questo livello è il biglietto acquistato oggi per fare un pessimo lavoro domani.
Volendo andare oltre, ciò che si vede nel post dell'OP ha anche altri particolari che meriterebbero una discussione ad hoc. Mi riferisco ai calcoli intermedi e alla precisione scelta per gli stessi, ma si aprirebbe un vaso di Pandora.
Certo è che se questo è lo spirito con il quale vengono risolti gli esercizi (per non dire il modo in cui vengono posti), non c'è da stupirsi dello scollamento tra la preparazione degli attuali neo-ingegneri rispetto alla richiesta e alle aspettative dei possibili datori di lavoro.
Nota:
L'interruttore $I_0$ è necessario per poter stabilire le condizioni iniziali. Senza di quello non puoi ottenere i tuoi 100 V fissando le condizioni iniziali, quindi non è inutile.
Ribadisco però che non considerare tutte le variabili di stato in un sistema è un comportamento sciatto e approssimativo che un ingegnere non dovrebbe mai adottare. Spesso gli errori si commettono proprio quando si dà per scontate questioni che magari appaiono tali, ma proprio non lo sono.
Gli esercizi (semplici) servono proprio per imparare il metodo che poi deve essere adottato nella soluzione dei sistemi complessi; partire con il piede sbagliato a questo livello è il biglietto acquistato oggi per fare un pessimo lavoro domani.
Volendo andare oltre, ciò che si vede nel post dell'OP ha anche altri particolari che meriterebbero una discussione ad hoc. Mi riferisco ai calcoli intermedi e alla precisione scelta per gli stessi, ma si aprirebbe un vaso di Pandora.
Certo è che se questo è lo spirito con il quale vengono risolti gli esercizi (per non dire il modo in cui vengono posti), non c'è da stupirsi dello scollamento tra la preparazione degli attuali neo-ingegneri rispetto alla richiesta e alle aspettative dei possibili datori di lavoro.
Nota:
L'interruttore $I_0$ è necessario per poter stabilire le condizioni iniziali. Senza di quello non puoi ottenere i tuoi 100 V fissando le condizioni iniziali, quindi non è inutile.
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