Esercizietto sulla Potenza di un segnale

[hastings1]

Ciao a tutti!
Potreste darmi un aiutino con questo esercizio?
Dato il segnale di tensione v(t) periodico di periodo 1 sec., esso è pari a $e^t$ nell'intervallo $0< t < 1$. Si calcoli il valor medio nel tempo e il valore efficace del segnale v(t).

Tentativo

Il mio libro definisce così il valor medio:

[tex]\overline{v(t) }^t= =\displaystyle \lim_{T \to +\infty } \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} v(t) \ dt[/tex]

Dunque:
$bar(v(t))^t= \int_0^1 e^t dt=[e^t]_0^1=e-1$

È giusto così?

Per quanto riguarda il val. eff. il libro lo definisce così:

[tex]v_{\mbox{eff}}(t)=\sqrt{\mathcal{P}_v}[/tex]

Dove $P_v$ è la potenza del segnale v(t). La potenza a sua volta è descritta così:

[tex]\mathcal{P}_v=\displaystyle \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty}|v(t)|^2 \ dt[/tex]

Considerando che $v(t)|_0^1=e^t$ è già positivo, sarà $|v(t)|^2 = e^{2t}$. Ok?
Quindi:[tex]\mathcal{P}_v=\displaystyle \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{2t} \ dt[/tex]
E ora? Come procedo?

[Blackorgasm]

bè calcoli l'integrale, solo che non devi fare il passaggio al limite e gli estremi di integrazione sono $-T/2$ e $T/2$, così è definita la potenza per i segnali periodici

[hastings1]

Cioè basta fare:
[tex]\mathcal{P}_v=\displaystyle \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{2t} \ dt=\frac{1}{2T}[e^{2t}]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}=\frac{1}{2T}[e^{T} - e^{-T}]= \frac{1}{2}[e-e^{-1}][/tex]

l'ultima uguaglianza viene fuori dal fatto che T=1 sec.
È giusto?

PS dovrebbe essere $ P_v ~~ 1.18 W$

[ZioPaolo1]

L'ultimo integrale vada calcolato fra 0 ed 1.
Se vuoi seguire la definizione di potenza e calcolarlo fra -1/2 e 1/2 devi spezzare l'intervallo in due parti e considerare che fra -1/2 e 0 la funzione integranda è $ (e^{t+1} )^2 = e^{2t+2} = e^2 * e^{2t} $ cioè la replica traslata indietro di un periodo del tuo segnale.

Sviluppando i calcoli:
$ e^2 int_(-1 / 2 )^(0) e^{2t} dt + int_(0)^(1 / 2) e^{2t} dt = e^2/2 [e^{2t}]_(-1 / 2 )^(0) + 1/2 [e^{2t}]_(0)^(1/2) = e^2/2 (1 - e^{-1}) + 1/2 (e-1) = e^2/2 - e/2 + e/2 -1/2 = (e^2-1)/2 $

che è lo stesso risultato che otterresti integrando fra 0 e 1.

Il valore numerico è 3.19 W

[ZioPaolo1]

Dimenticavo... il valore efficace verrebbe 1.787 V

[hastings1]

(Non controllavo l'email da un bel poì di tempo)
Grazie di aver corretto l'errore che c'era tra i due estremi di integrazione!

Per me, è meglio integrare nell' intervallo $t \in [0, 1]$ anche perché non ho capito come mai, tra $[ -1/2 , 0]$, la funzione diventa $e^{1+t}$ (poi va elevato al quadrato, naturalmente). Come si arriva a dire ciò?

Inoltre, in cosa si misura il valore efficace della potenza del segnale v(t), [tex]\sqrt{ \mathcal{P}_v }[/tex] ? Watt?

[ZioPaolo1]

Ovvio che integrare fra 0 ed 1 è estremamente più semplice, infatti è stato il mio primo suggerimento.

Ho svolto i calcoli più che altro per dimostrarti che non sempre è conveniente applicare la definizione del libro alla lettera in quanto i calcoli possono complicarsi inutilmente, come succedeva in questo caso.

Per quanto riguarda [tex]e^{t+1}[/tex] era scritto nella tua traccia....

Dato il segnale di tensione [tex]v(t)[/tex] periodico di periodo 1 sec., esso è pari a [tex]e^t[/tex] nell'intervallo 0

Secondo te [tex]v(t)[/tex] quanto vale fra [tex]- oo[/tex] e [tex]0[/tex] e fra [tex]1[/tex] e [tex]+oo[/tex] ?
Hai provato a disegnarlo ?

[hastings1]

Posto l'immagine qui sotto, solo per 3 periodi ([-1, 0], [0, 1], [1, 2]).
Le repliche del segnale v(t) per $t\in[0, 1]$ si ripetono ogni kT (T=1, k$\in ZZ$) da $- \oo$ a $+ \oo $. Le repliche sono ottenute per traslazione ovvero f(x)=f(x-kT); quindi tra [-1, 0], k=-1 [tex]\Rightarrow v(t)=e^{(t-(-1))}=e^{t+1}[/tex] mentre nell'intervallo [1 , 2]:[tex]v(t)=e^{t-(1)}=e^{t-1}[/tex], e così via.

[ZioPaolo1]

Bravo hasting vedo che hai capito il discorso delle repliche.

Mi suona strana la tua domanda:

Inoltre, in cosa si misura il valore efficace della potenza del segnale v(t), [tex]\sqrt{ \mathcal{P}_v }[/tex] ? Watt?

Quello che hai calcolato tu è il valore efficace di v(t) e non il valore efficace della potenza di v(t).

Il valore efficace di una qualsiasi grandezza si misura con la stessa unità di misura della grandezza stessa.
La potenza di un segnale si misura con l'unità di misura dell'ampiezza del segnale elevata al quadrato.
Ad esempio la potenza di un segnale di tensione (che quindi ha un'ampiezza che si misura in V), si misura in [tex]V^2[/tex].

[hastings1]

la potenza non si misura in Watt e basta?

[ZioPaolo1]

I Watt vengono fuori moltiplicando per una opportuna costante.

Ad esempio, supponiamo di aver calcolato la potenza di un certo segnale di tensione e che il risultato sia 26 [tex]V^2[/tex].
Ora se immaginiamo questo segnale applicato ai capi di un resistore da 1 [tex]\Omega[/tex], allora la potenza dissipata dal quel resistore sarà 26 W.

[itpareid]

"ZioPaolo":Ad esempio, supponiamo di aver calcolato la potenza di un certo segnale di tensione e che il risultato sia 26 [tex]V^2[/tex].

scusa non ho capito, la potenza la misuri in $V^2$?

[ZioPaolo1]

Non è che io la potenza la misuro in [tex]V^2[/tex], si tratta di un risultato che ottieni ragionando sulla definizione di potenza di un segnale che tu stesso hai postato all'inizio: basta una semplice analisi dimensionale.

La teoria dei segnali ti fornisce degli strumenti matematici da applicare a problemi fisici.
In fisica non ha senso parlare di potenza se non c'è un lavoro compiuto da una forza su una massa.

Quindi i Watt saltano fuori solo se consideri il tuo segnale applicato ad un carico.

Il carico può essere un resistore da 1 [tex]\Omega[/tex] se il tuo segnale è di tensione o di corrente, oppure una massa da 1 [tex]Kg[/tex] se il segnale è una forza (misurata in Newton)