Equazioni alle differenze e passo di discretizzazione
Parlando di equazioni alle differenze come formulazione discreta di equazioni differenziali ordinarie, ho il seguente quesito da porre:
Consideriamo la ODE generica: [tex]F(t, x(t), x^{'}(t), ..., x^{(n)}(t))=0[/tex], con [tex]x: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] continua e derivabile n volte.
Siamo interessati a conoscere la soluzione [tex]x(t)[/tex] soltanto in un sottoinsieme del dominio, ovvero soltanto per determinati valori di t; tipicamente i punti in cui si desidera conoscere [tex]x(t)[/tex] sono equidistanti tra loro ([tex]t_k-t_{k-1}=T[/tex], con [tex]T[/tex] passo di discretizzazione costante).
Approssimando le derivate presenti nella ODE, ad esempio, con le differenze finite prime all'indietro, otteniamo la generica equazione alle differenze:
[tex]G(k, y(k), y(k-1), ..., y(k-n))=0[/tex].
Si possono ottenere equazioni alle differenze (e, se sì, cosa cambia nel ragionamento precedente) nel caso in cui i punti [tex]t_k[/tex] non sono equidistanti, ossia il passo di discretizzazione è variabile?
Consideriamo la ODE generica: [tex]F(t, x(t), x^{'}(t), ..., x^{(n)}(t))=0[/tex], con [tex]x: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] continua e derivabile n volte.
Siamo interessati a conoscere la soluzione [tex]x(t)[/tex] soltanto in un sottoinsieme del dominio, ovvero soltanto per determinati valori di t; tipicamente i punti in cui si desidera conoscere [tex]x(t)[/tex] sono equidistanti tra loro ([tex]t_k-t_{k-1}=T[/tex], con [tex]T[/tex] passo di discretizzazione costante).
Approssimando le derivate presenti nella ODE, ad esempio, con le differenze finite prime all'indietro, otteniamo la generica equazione alle differenze:
[tex]G(k, y(k), y(k-1), ..., y(k-n))=0[/tex].
Si possono ottenere equazioni alle differenze (e, se sì, cosa cambia nel ragionamento precedente) nel caso in cui i punti [tex]t_k[/tex] non sono equidistanti, ossia il passo di discretizzazione è variabile?
Risposte
Non prendere punti tra loro equidistanti vuol dire, fondamentalmente, non campionare in maniera periodica. Il campionamento periodico è utile in quanto gode di ben note proprietà (vedi teorema di Shannon).
Il campionamento non periodico, invece, non credo sia trattato a livello accademico ed è senz'altro più complicato da portare avanti anche solo dal punto di vista analitico. Sicuramente ci sarà qualcosa in letteratura.
Il campionamento non periodico, invece, non credo sia trattato a livello accademico ed è senz'altro più complicato da portare avanti anche solo dal punto di vista analitico. Sicuramente ci sarà qualcosa in letteratura.
Quindi, seppur con complicazioni maggiori da affrontare, è possibile ottenere equazioni alle differenze anche campionando non periodicamente?
Per meglio dire, quando io leggo:
[tex]k y(k+1) = a(k) y(k)[/tex] o, in generale, [tex]G(k, x(k), x(k-1), ..., x(k-n))=0[/tex]
deve supporre sempre che tali espressioni derivino da un campionamento periodico ([tex]t_k - t_{k-1} = T[/tex], con [tex]T[/tex] costante) oppure il campionamento potrebbe anche non essere periodico ([tex]t_k - t_{k-1} = T(k)[/tex])?
Per meglio dire, quando io leggo:
[tex]k y(k+1) = a(k) y(k)[/tex] o, in generale, [tex]G(k, x(k), x(k-1), ..., x(k-n))=0[/tex]
deve supporre sempre che tali espressioni derivino da un campionamento periodico ([tex]t_k - t_{k-1} = T[/tex], con [tex]T[/tex] costante) oppure il campionamento potrebbe anche non essere periodico ([tex]t_k - t_{k-1} = T(k)[/tex])?
Dal momento che [tex]k[/tex] è intero e si incrementa sempre di una unità, direi di si.
Ho dato un'occhiata all'archivio IEEE cercando "non-uniform sampling". Effettivamente si usano periodi di campionamento non uniformi, perché sotto certe condizioni possono migliorare la qualità dei dati. Non posso pubblicare gli articoli qui, ma molto probabilmente la tua università è affiliata alla IEEE.
Ho trovato un questo pdf che può essere utile per capire qualcosa sul campionamento non uniforme. Rimane il fatto che bisogna distinguere tra campionamento periodico non uniforme e campionamento non periodico. In quest'ultimo caso credo che le cose si complichino ulteriormente.
Mi basta sapere che tipo di campionamento sta dietro equazioni alle differenze come quelle mostrate in precedenza.
Nella soluzione di equazioni alle differenze penso che sia importante anche l'errore commesso nella discretizzazione, e come questo dipende dalla scelta del passo di discretizzazione.
Quello che si vorrebbe conoscere è il valore di $x(t)$ in vari istanti, ma ciò che si ottiene sono delle approssimazioni.
Quello che si vorrebbe conoscere è il valore di $x(t)$ in vari istanti, ma ciò che si ottiene sono delle approssimazioni.
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