Equazione differenziale primo ordine
Devo risolvere 2 equazioni differenziali e credo di esserci riuscita ma non ho idea di come calcolare il coefficiente in entrambi i casi. Provo a spiegarmi meglio, devo trovare le soluzioni di :
$ g(t) + \frac(1)(RC)g(t) = 0 $
Per trovare le soluzioni prima ho ricavato $ A(t) = \int \frac(1)(RC)dt = \frac(t)(RC) $
Ora ottengo dunque che $ g(t) = e^(-\frac(t)(RC))(c1 + \int 0*e^(-\frac(t)(RC)))= e^(-\frac(t)(RC))*c1 $
Arrivata qui però non riesco a calcolare c1
Stessa cosa vale per la seconda equazione differenziale $ RCg’(t) + g(t) = 1 $
Applicando lo stesso metodo della precedente ho ottenuto $ g(t) = c1 e^(-\frac(t)(RC))+1 $ , e qui ho sicuramente fatto un errore perchè dalla soluzione del libro c’è un meno davanti all’esponenziale che io mi sono persa
Ora , come prima , non capisco come calcolare c1 :/
$ g(t) + \frac(1)(RC)g(t) = 0 $
Per trovare le soluzioni prima ho ricavato $ A(t) = \int \frac(1)(RC)dt = \frac(t)(RC) $
Ora ottengo dunque che $ g(t) = e^(-\frac(t)(RC))(c1 + \int 0*e^(-\frac(t)(RC)))= e^(-\frac(t)(RC))*c1 $
Arrivata qui però non riesco a calcolare c1
Stessa cosa vale per la seconda equazione differenziale $ RCg’(t) + g(t) = 1 $
Applicando lo stesso metodo della precedente ho ottenuto $ g(t) = c1 e^(-\frac(t)(RC))+1 $ , e qui ho sicuramente fatto un errore perchè dalla soluzione del libro c’è un meno davanti all’esponenziale che io mi sono persa
Ora , come prima , non capisco come calcolare c1 :/
Risposte
"enna":
Devo risolvere 2 equazioni differenziali e credo di esserci riuscita ma non ho idea di come calcolare il coefficiente in entrambi i casi.
Ti mancano le condizioni iniziali, ovvero la tensione sul condensatore al tempo 0
Ma come le capisco le condizioni iniziali guardando il circuito ? ( perdona se la domanda è troppo stupida ) a me vengono forniti due circuiti RC , C in alto nel primo caso e R in alto nel secondo. Per cercare di capire ho guardato la soluzione e per sostituzione per ottenere la soluzione del libro la prima condizione dovrebbe essere g(t=0)=1
Mentre nel secondo caso g(t=0)=0. Solo che vorrei capirne il motivo
Mentre nel secondo caso g(t=0)=0. Solo che vorrei capirne il motivo
"enna":
Ma come le capisco le condizioni iniziali guardando il circuito ?
Ma le persone non hanno la sfera di cristallo, mi sembra un abitudine strana per le persone che fanno le domande di postare soluzioni frammentate e ottenere una risposta.
Metti il problema completo con tutti i dati cosi renderai la vita facile a chi ti vuole dare una mano.
Questo è il testo dell’esercizio , non l’ho postato tutto prima perché avendo la risposta indiciale poi la risposta impulsiva so trovarla.. per trovare la risposta indiciale ho fatto il procedimento scritto sopra ma le condizioni del circuito non le so. Questo è il testo del secondo esercizio , il testo del primo è uguale ma con R e C invertiti.
Adesso è più chiaro, devi trovare le funzioni di trasferimento
dei 2 circuiti.
Bhè nel dominio di laplace la funzione di trasferimento è:
\(H\left ( s \right )=\frac{Y\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}\)
Applicato al primo circuito RC :
\(h\left ( t \right )=\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
nel secondo circuito CR:
\(h\left ( t \right )=\delta \left ( t \right )-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
dei 2 circuiti.
Bhè nel dominio di laplace la funzione di trasferimento è:
\(H\left ( s \right )=\frac{Y\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}\)
Applicato al primo circuito RC :
\(h\left ( t \right )=\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
nel secondo circuito CR:
\(h\left ( t \right )=\delta \left ( t \right )-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
A te sono venuti entrambi in 1 secondo e spero di riuscire a capire anche questo metodo. Lui nella soluzione ha calcolato prima la risposta indiciale ed è così che vorrei provare a fare come primo metodo. Fino al calcolo della risposta indiciale ‘parziale’ ci sono , poi però lui da per scontati i valori di c1 delle due equazioni differenziali. Ed è proprio questo che non riesco a capire, in base a quale principio ha ottenuto i valori di c ?
Una volta che hai la funzione di trasferimento puoi determinare l'uscita in base all'ingresso , ancora mi sfugge coa stai calcolando.
Mi dai le soluzioni del libro cosi' riesco a risalire a cosa intende?
Mi dai le soluzioni del libro cosi' riesco a risalire a cosa intende?
Ecco anche la seconda soluzione postata dal mio prof., se vuoi posso pubblicare anche quello che ho scritto io. Anche se fino a un certo punto è uguale, anche se io l’equazione differenziale( essendo di secondo grado ) l’ho calcolata con il metodo della A(t) e usando la ‘formula’ , che non varia per eq omogenee o no di secondo grado. Il risultato è lo stesso che ha ottenuto lui
Quindi stai cercando la risposta alla Funzione gradino di Heaviside.
Bhè impostiamo l'equazione differenziale per il primo circuito RC:
\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{x}{RC}\)
ma il nostro gradino unitario è una costante e vale uno per t>0
quindi:
\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{1}{RC}\)
ossia:
\(y\left ( t \right )=e^{-\frac{t}{RC}}\left ( \frac{1}{RC}\int e^{\frac{t}{RC} }dt+k\right )=1+ke^{-\frac{t}{RC}}\)
ora determiniamo k con la condizione iniziale di \(y\left ( 0 \right )=0\)
\(1+ke^{-\frac{0}{RC}}=0\)
Risolvo per k:
$k=-1$
sostituisco:
\(y\left ( t \right )=1-e^{-\frac{t}{RC}}\)
Bhè impostiamo l'equazione differenziale per il primo circuito RC:
\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{x}{RC}\)
ma il nostro gradino unitario è una costante e vale uno per t>0
quindi:
\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{1}{RC}\)
ossia:
\(y\left ( t \right )=e^{-\frac{t}{RC}}\left ( \frac{1}{RC}\int e^{\frac{t}{RC} }dt+k\right )=1+ke^{-\frac{t}{RC}}\)
ora determiniamo k con la condizione iniziale di \(y\left ( 0 \right )=0\)
\(1+ke^{-\frac{0}{RC}}=0\)
Risolvo per k:
$k=-1$
sostituisco:
\(y\left ( t \right )=1-e^{-\frac{t}{RC}}\)
Ok ! Hai appena risolto in un colpo solo il dubbio che avevo su questo esercizio e anche l’errore che avevo fatto 
però ( poi giuro che non ti disturberò più !) nell’altro esercizio perché non applico la stessa condizione iniziale ? Ragionando per sostituzione , guardando la soluzione , si è applicata la condizione iniziale y(0)=1 .. perché ?
però ( poi giuro che non ti disturberò più !) nell’altro esercizio perché non applico la stessa condizione iniziale ? Ragionando per sostituzione , guardando la soluzione , si è applicata la condizione iniziale y(0)=1 .. perché ?
bhè senza scomodare i calcoli, non sò quanto tu sappia di elettronica
ma la tensione sul condensatore non può variare in maniera brusca,ovvero
se io appplico su un morsetto del condensatore (lato sinistro nel tuo caso) un gradino unitario anche il morsetto di destra si porterà allo stesso potenziale per avere all'istante $t=0$
una differenza di potenziale sempre $v_C= 0$ (tensione sul condensatore = 0)
Quindi se applico 1 a sinistra del condensatore all'istante $t=0$,
avrò 1 anche a destra all'istante $t=0$, .
Quindi quella sarà la condizione iniziale
ovvero $y(0) =1$
ma la tensione sul condensatore non può variare in maniera brusca,ovvero
se io appplico su un morsetto del condensatore (lato sinistro nel tuo caso) un gradino unitario anche il morsetto di destra si porterà allo stesso potenziale per avere all'istante $t=0$
una differenza di potenziale sempre $v_C= 0$ (tensione sul condensatore = 0)
Quindi se applico 1 a sinistra del condensatore all'istante $t=0$,
avrò 1 anche a destra all'istante $t=0$, .
Quindi quella sarà la condizione iniziale
ovvero $y(0) =1$
Grazie Grazie Grazie !!!!!!!!!!!!! In teoria dovrei saperne di elettronica credo sia passato un po’ troppo tempo 
credo sia passato un po’ troppo tempo
Quando nella soluzione del secondo problema (non ho capito bene chi) afferma che
non concordo, in quanto basterebbe un semplice bilancio impulsivo per andare a determinare l'uscita con maggior rapidità.
... l'equazione differenziale che regge il circuito ... sarebbe difficile da risolvere con $x(t)=\delta(t)$ ; dunque possiamo: ...
non concordo, in quanto basterebbe un semplice bilancio impulsivo per andare a determinare l'uscita con maggior rapidità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo