Equazione di Poisson

[merluzz22]

Salve, sono nuova nel forum e spero di non aver sbagliato sede dove postare questo mio dubbio.
Devo risolvere questo tema d'esame nel quale compare un'equazione di Poisson, da risolversi con il metodo di separazione delle variabili.
Non riesco a capire la soluzione proposta nel testo, dove compaiono seno e coseno iperbolici.
Qualcuno potrebbe aiutarmi? E' molto importante. Grazie mille in anticipo!

[Camillo]

L'esercizio richiede di risolvere il problema col metodo di separazioni delle variabili. Ipotizzo allora che le soluzioni $u(x,y)$ possano essere il prodotto di due funzioni, da determinare, ciascuna dipendente da una sola variabile.
Cerco allora soluzioni del tipo $ u(x,y)= v(x)* w(y)$.
Poiché $Delta u(x,y)= u_(x x)(x,y)+u_(yy)(x,y)=0$.
Calcolo : $u_x(x,y)=v'(x) w(y) -----> u_(x x) (x,y)= v''(x) w(y) $
: $ u_y(x,y)= v(x)w'(y) ----> u_(y y)(x,y)= v(x)w''(y)$

L'equazione $Delta u(x,y)=0 $ diventa

$ v''(x) w(y) +v(x) w''(y)=0 $ da cui si ottiene :

$(v''(x))/(v(x))= - (w''(y))/(w(y)) $

Il I° membro è funzione solo della variabile $x$ e il II ° membro solo della variabile $y$ .L'uguaglianza è possibile solo se entrambi i membri sono uguali a una costante comune , chiamiamola $lambda$.

Quindi $ (v''(x))/(v(x)) =- (w''(y))/(w(y)) = lambda $ cui segue il problema agli autovalori :

$v''(x)-lambda v(x)= 0 $
$w''(y)+ lambda w(y) =0 $
Dai dati del problema vanno ricavate le condizioni al contorno.

Ora prosegui tu...
La prima eq diff porta a soluzioni di tipo $sin $, mentre la seconda a soluzioni di tipo $sinh $ -funzioni iperboliche.

[merluzz22]

Io ho proseguito esattamente come te, ma il problema è che nella soluzione proposta dal prof si hanno coseno e seno iperbolici per la variabile y, mentre seno e coseno per la variabile x. E' esattamente questo che non mi torna!

[merluzz22]

"Camillo":L'esercizio richiede di risolvere il problema col metodo di separazioni delle variabili. Ipotizzo allora che le soluzioni $ u(x,y) $ possano essere il prodotto di due funzioni, da determinare, ciascuna dipendente da una sola variabile.
Cerco allora soluzioni del tipo $ u(x,y)= v(x)* w(y) $.
Poiché $ Delta u(x,y)= u_(x x)(x,y)+u_(yy)(x,y)=0 $.
Calcolo : $ u_x(x,y)=v'(x) w(y) -----> u_(x x) (x,y)= v''(x) w(y) $
: $ u_y(x,y)= v(x)w'(y) ----> u_(y y)(x,y)= v(x)w''(y) $

L'equazione $ Delta u(x,y)=0 $ diventa

$ v''(x) w(y) +v(x) w''(y)=0 $ da cui si ottiene :

$ (v''(x))/(v(x))= - (w''(y))/(w(y)) $

Il I° membro è funzione solo della variabile $ x $ e il II ° membro solo della variabile $ y $ .L'uguaglianza è possibile solo se entrambi i membri sono uguali a una costante comune , chiamiamola $ lambda $.

Quindi $ (v''(x))/(v(x)) =- (w''(y))/(w(y)) = lambda $ cui segue il problema agli autovalori :

$ v''(x)-lambda v(x)= 0 $
$ w''(y)+ lambda w(y) =0 $
Dai dati del problema vanno ricavate le condizioni al contorno.

Ora prosegui tu...
La prima eq diff porta a soluzioni di tipo $ sin $, mentre la seconda a soluzioni di tipo $ sinh $ -funzioni iperboliche.

"merluzz22":Io ho proseguito esattamente come te, ma il problema è che nella soluzione proposta dal prof si hanno coseno e seno iperbolici per la variabile y, mentre seno e coseno per la variabile x. E' esattamente questo che non mi torna!