Equazione di Lamé e stato di tensione monoassiale
Buonasera,
scrivo sul forum per chiedere gentilmente un chiarimento riguardo la seguente equazione, l'equazione di Lamé:
$ \sigma_{ij}=2 \mu \quad \varepsilon_{ij}+\lambda \quad tr \quad \varepsilon_{ij} \quad I $
Ho iniziato il corso questa settimana, perdonatemi se la domanda sarà banale, può darsi che mi sia perso in un bicchier d'acqua.
La domanda è la seguente: posto di aver a che fare con uno stato di tensione monoassiale del tipo:
$ \sigma_{ij}= ( ( \sigma_{11} , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Come mai le tensioni non diagonali del tensore si annullano?
Ricavando $\varepsilon$ dall'equazione di Lamé, e ricavando ad esempio la deformazione $\varepsilon_{12}$:
$ \varepsilon_{12} = \frac{1}{2 \mu} [ \sigma_{12} - ( \frac{ \lambda}{2 \mu +3 \lambda} tr ( \sigma_{ij} )I ) ] $
il termine $\sigma_{12}$ è nullo per come definito lo stato tensionale, non capisco però come mai si annulli anche il secondo termine.
La traccia in questo caso è pari a $ \sigma_{11}+0+0= \sigma_{11} $, andando a moltiplicare per l'identità però non ottengo zero.
scrivo sul forum per chiedere gentilmente un chiarimento riguardo la seguente equazione, l'equazione di Lamé:
$ \sigma_{ij}=2 \mu \quad \varepsilon_{ij}+\lambda \quad tr \quad \varepsilon_{ij} \quad I $
Ho iniziato il corso questa settimana, perdonatemi se la domanda sarà banale, può darsi che mi sia perso in un bicchier d'acqua.
La domanda è la seguente: posto di aver a che fare con uno stato di tensione monoassiale del tipo:
$ \sigma_{ij}= ( ( \sigma_{11} , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Come mai le tensioni non diagonali del tensore si annullano?
Ricavando $\varepsilon$ dall'equazione di Lamé, e ricavando ad esempio la deformazione $\varepsilon_{12}$:
$ \varepsilon_{12} = \frac{1}{2 \mu} [ \sigma_{12} - ( \frac{ \lambda}{2 \mu +3 \lambda} tr ( \sigma_{ij} )I ) ] $
il termine $\sigma_{12}$ è nullo per come definito lo stato tensionale, non capisco però come mai si annulli anche il secondo termine.
La traccia in questo caso è pari a $ \sigma_{11}+0+0= \sigma_{11} $, andando a moltiplicare per l'identità però non ottengo zero.
Risposte
Ciao,
il tensore degli sforzi per tensione monoassiale è come quello che hai riportato perché hai solo uno sforzo nella direzione che consideri, mentre nelle altre direzioni non hai sforzo. È il caso ideale di una prova di trazione su un provino (non so se ne avete già parlato).
Nel caso della deformazione: avere sforzo nullo in una direzione non implica avere deformazione nulla in quella direzione. Nel caso pratico, se prendi un corpo e applichi uno sforzo in una direzione (ad esempio pee allungarlo in quella direzione), avrai una deformazione anche nelle altre due direzioni perpendicolari.
Per esempio, pensa ad una spugna (non è proprio il caso migliore per questo esempio, perché il materiale non è dei più ideali, però è giusto per farti vedere): se provi ad allungarla, vedrai che si riduce di spessore, anche se nella direzione dello spessore non applichi sforzi.
Questo era per dare un esempio pratico a parole, che si dimostra con la tua formula.
il tensore degli sforzi per tensione monoassiale è come quello che hai riportato perché hai solo uno sforzo nella direzione che consideri, mentre nelle altre direzioni non hai sforzo. È il caso ideale di una prova di trazione su un provino (non so se ne avete già parlato).
Nel caso della deformazione: avere sforzo nullo in una direzione non implica avere deformazione nulla in quella direzione. Nel caso pratico, se prendi un corpo e applichi uno sforzo in una direzione (ad esempio pee allungarlo in quella direzione), avrai una deformazione anche nelle altre due direzioni perpendicolari.
Per esempio, pensa ad una spugna (non è proprio il caso migliore per questo esempio, perché il materiale non è dei più ideali, però è giusto per farti vedere): se provi ad allungarla, vedrai che si riduce di spessore, anche se nella direzione dello spessore non applichi sforzi.
Questo era per dare un esempio pratico a parole, che si dimostra con la tua formula.
Come già ti ha risposto l'altro utente è proprio in questo che consiste il così detto "effetto Poisson"
Grazie mille intanto,
mi state dicendo (intuitivamente) che se allungo un provino questo si deve "restringere" per potersi allungare.
E questo è ciò che è rappresentato da quella matrice.
Quindi il fatto che le componenti di $\sigma$ lungo le direzioni diverse da quelle di trazione siano nulle non implica mai che qualcuna delle $\varepsilon$ si annulli?
Grazie di nuovo a tutti!
mi state dicendo (intuitivamente) che se allungo un provino questo si deve "restringere" per potersi allungare.
E questo è ciò che è rappresentato da quella matrice.
Quindi il fatto che le componenti di $\sigma$ lungo le direzioni diverse da quelle di trazione siano nulle non implica mai che qualcuna delle $\varepsilon$ si annulli?
Grazie di nuovo a tutti!
Sì, esatto: delle componenti nulle fuori dalla diagonale non impongono deformazioni corrispettive nulle.
Il perché è spiegato matematicamente dalla presenza della traccia della matrice nella formula delle deformazioni.
Il perché è spiegato matematicamente dalla presenza della traccia della matrice nella formula delle deformazioni.
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