[ELETTROTECNICA]risp. in frequenza di un circuito RLC serie
Sono alla prese con l'esame orale di elettrotecnica ed ho un punto che non mi è molto chiaro. "Risp. in frequenza di un circuito rlc serie". Owiamente online c'è tutto e niente, e il libro ne da solo un accenno ( è piu una parte di controlli giustamente...).
Negli appunti, un po' confusi, del prof, si parla di un circiuto rlc serie il quale si suppone venga attraversato da un segnale
$v(t)=Vmcos(wt+phiv)$ il quale ha Vm= costante ( non sinus) e w varia.
Vogliamo trovare la corrente espressa in forma sinusoidale $i(t)=Imcos(wt+phii)$. E fin qui tutto ok. Adesso lavorando nel Dt mi accorgo che :
$Im=Vm/Z$ (con Z=Ztotale)
e $phii=phiv-phiz$
Facendo due conticini in fondo ottengo che:
$Im=(Vm)/sqrt(R^2+(wL-1/wC)^2))$
e
$phii=-arctg((wL-1/wC)/R)$
A questo punto si conclude dicendo che "un circuito RLC serie offre l'impedenza + bassa alla pulsazione di risonanza $w0=1/sqrt(LC)$, e quindi è un filtro passabanda."
Potete spiegarmi quale sarebbe la risp in frequenza e soprattutto l'ultimo discorso finale ?
Negli appunti, un po' confusi, del prof, si parla di un circiuto rlc serie il quale si suppone venga attraversato da un segnale
$v(t)=Vmcos(wt+phiv)$ il quale ha Vm= costante ( non sinus) e w varia.
Vogliamo trovare la corrente espressa in forma sinusoidale $i(t)=Imcos(wt+phii)$. E fin qui tutto ok. Adesso lavorando nel Dt mi accorgo che :
$Im=Vm/Z$ (con Z=Ztotale)
e $phii=phiv-phiz$
Facendo due conticini in fondo ottengo che:
$Im=(Vm)/sqrt(R^2+(wL-1/wC)^2))$
e
$phii=-arctg((wL-1/wC)/R)$
A questo punto si conclude dicendo che "un circuito RLC serie offre l'impedenza + bassa alla pulsazione di risonanza $w0=1/sqrt(LC)$, e quindi è un filtro passabanda."
Potete spiegarmi quale sarebbe la risp in frequenza e soprattutto l'ultimo discorso finale ?
Risposte
Poichè $ |Z|= sqrt ( R^2+ (omega L-1/(omega C))^2)$ se $omegaL = 1/(omegaC) $ l'impedenza si riduce alla sola resistenza R: questo avviene alla pulsazione di risonanza, tale appunto che $omega = 1/sqrt(LC) $ in quanto la reattanza capacitiva viene compensata dalla reattanza indutiva e la corrente è limitata solo dal valore di R.
E' un filtro passabanda perchè fa passare senza grande attenuazione le frequenze vicine alla frequenza di risonanza dove $|Z| $ ha il valore minimo.(=R ).
Naturalmente $omega = 2pi f $ essendo $f $ la frequenza .
Alle frequenze più alte della $f$ di risonanza l'addendo $omega L $ cresce e aumenta quindi l'impedenza del circuito ; alle frequenze più basse della risonanza cresce invece l'addendo $1/(omega C)$ e quindi aumenta l'impedenza del circuito.
Naturalmente $omega = 2pi f $ essendo $f $ la frequenza .
Alle frequenze più alte della $f$ di risonanza l'addendo $omega L $ cresce e aumenta quindi l'impedenza del circuito ; alle frequenze più basse della risonanza cresce invece l'addendo $1/(omega C)$ e quindi aumenta l'impedenza del circuito.
Ciao starsuper,
parti dal fatto che la pulsazione $ omega $ e la frequenza $ f $ sono parenti stretti. Vale infatti la relazione: $ omega = 2pif $.
Quando calcoli una grandezza elettrica (tensione, corrente, impedenza, ammettenza, potenza, ...) in una rete a regime sinusoidale e ottieni una espressione contente $ omega $, vuol dire che quella grandezza varia al variare della pulsazione (dunque della frequenza) dei segnali impressi.
Per ricavare il comportamento della rete ad una frequenza ben precisa, una volta ottenuta l'espressione della grandezza che ti interessa, sostituisci il valore di $ omega $ dei segnali forniti dai generatori indipendenti e ricavi così il valore cercato in modulo e fase.
Se invece ti interessa studiare il comportamento della rete su una ampia gamma di frequenze, ottenuta l'espressione della grandezza che ti interessa, mantieni $ omega $ come variabile indipendente, calcoli modulo e fase della tua grandezza ed infine disegni i rispettivi grafici che ne mostrano l'andamento al variare di $ omega $.
Quando si parla di risposta in frequenza di un circuito si intende appunto l'andamento rispetto ad $ omega $ (oppure $ f $ tanto è uguale) del rapporto fra due grandezze di particolare interesse: una che rappresenta l'uscita del sistema e l'altra che rappresenta l'ingresso.
Nel tuo caso specifico, il segnale $ v(t) $ è fornito al circuito da una sorgente indipendente (generatore) e quindi mi sembra un buon candidato come segnale di ingresso. Il segnale di uscita invece è $ i(t) $, cioè quello che si desidera calcolare.
Fossi all'orale al tuo posto, io direi che la risposta in frequenza del circuito $ dotH(omega) $ è data da:
$ dotH(omega) = frac{barI(omega)}{barV(omega)} = frac{1}{dotZ(omega)} = frac{1}{R + jomegaL + frac{1}{jomegaC}} = frac{1}{R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})} $
a questo punto calcolerei il modulo e la fase di $ dotH(omega) $:
$ |dotH(omega)| = |frac{1}{R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})}| = frac{|1|}{|R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})|} = frac{1}{sqrt(R^2 + (omegaL - frac{1}{omegaC})^2)} $
$ Phi_{dotH(omega)} = Phi_1 - Phi_{dotZ(omega)} = 0^o -arctan(frac{omegaL - frac{1}{omegaC}}{R}) = -arctan(frac{omegaL - frac{1}{omegaC}}{R}) $
A questo punto tracciare i grafici di $ |dotH(omega)| $ e $ Phi_{dotH(omega)} $ è banale poiché sono entrambe funzioni $ f: RR -> RR $. Puoi trovare i valori minimi e massimi e studiarne l'andamento per trarre conclusioni sul circuito che hai analizzato.
parti dal fatto che la pulsazione $ omega $ e la frequenza $ f $ sono parenti stretti. Vale infatti la relazione: $ omega = 2pif $.
Quando calcoli una grandezza elettrica (tensione, corrente, impedenza, ammettenza, potenza, ...) in una rete a regime sinusoidale e ottieni una espressione contente $ omega $, vuol dire che quella grandezza varia al variare della pulsazione (dunque della frequenza) dei segnali impressi.
Per ricavare il comportamento della rete ad una frequenza ben precisa, una volta ottenuta l'espressione della grandezza che ti interessa, sostituisci il valore di $ omega $ dei segnali forniti dai generatori indipendenti e ricavi così il valore cercato in modulo e fase.
Se invece ti interessa studiare il comportamento della rete su una ampia gamma di frequenze, ottenuta l'espressione della grandezza che ti interessa, mantieni $ omega $ come variabile indipendente, calcoli modulo e fase della tua grandezza ed infine disegni i rispettivi grafici che ne mostrano l'andamento al variare di $ omega $.
Quando si parla di risposta in frequenza di un circuito si intende appunto l'andamento rispetto ad $ omega $ (oppure $ f $ tanto è uguale) del rapporto fra due grandezze di particolare interesse: una che rappresenta l'uscita del sistema e l'altra che rappresenta l'ingresso.
Nel tuo caso specifico, il segnale $ v(t) $ è fornito al circuito da una sorgente indipendente (generatore) e quindi mi sembra un buon candidato come segnale di ingresso. Il segnale di uscita invece è $ i(t) $, cioè quello che si desidera calcolare.
Fossi all'orale al tuo posto, io direi che la risposta in frequenza del circuito $ dotH(omega) $ è data da:
$ dotH(omega) = frac{barI(omega)}{barV(omega)} = frac{1}{dotZ(omega)} = frac{1}{R + jomegaL + frac{1}{jomegaC}} = frac{1}{R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})} $
a questo punto calcolerei il modulo e la fase di $ dotH(omega) $:
$ |dotH(omega)| = |frac{1}{R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})}| = frac{|1|}{|R + j (omegaL - frac{1}{omegaC})|} = frac{1}{sqrt(R^2 + (omegaL - frac{1}{omegaC})^2)} $
$ Phi_{dotH(omega)} = Phi_1 - Phi_{dotZ(omega)} = 0^o -arctan(frac{omegaL - frac{1}{omegaC}}{R}) = -arctan(frac{omegaL - frac{1}{omegaC}}{R}) $
A questo punto tracciare i grafici di $ |dotH(omega)| $ e $ Phi_{dotH(omega)} $ è banale poiché sono entrambe funzioni $ f: RR -> RR $. Puoi trovare i valori minimi e massimi e studiarne l'andamento per trarre conclusioni sul circuito che hai analizzato.
Vi ringrazio molto . Cosa si intende per frequenza di risonanza? é la $w$ per cui tutti i dispositivi viaggiano in fase? Nonostante i post di Camillo non capisco perche sia un passabanda...
Traccia il grafico del modulo di $H(omega) $ e ti renderai conto per quali pulsazioni/frequenze il circuito attenua di più o di meno il segnale inserito all'ingresso ( il minimo di attenuazione si ha alla frequenza di risonanza).
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