[Elettrotecnica] Teorema di Boucherot

[Mos1]

Salve ragazzi,
ho il teorema di Boucherot che ci dice che in un circuito a regime sinusoidale la somma delle potenze attive e reattive erogate dai generatori presenti in una reta è pari alla somma delle potenze attive e reattive impegnate negli elementi circuitali della stessa, dico bene?

per quanto riguarda la dimostrazione so che il teorema di Boucherot deriva dal teorema di Tellegen cioè:

$ sumv(t*i(t)=0 $ quindi a regime sinusoidale abbiamo $ sumdotV*dotI =0 $ e quindi $ sum dotV*dotbarI =0 $ quindi la somma di tutte le potenze complesse di una rete è nulla.
quindi consideriamo il seguente ramo di tensione $ dotV $ con generatore $ dotE $ e impedenza $ Z $ :

[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 40 15 25 15 0
LI 50 15 65 15 0
LI 90 15 75 15 0
EV 65 15 75 15 0
EV 65 10 65 15 0
EV 65 10 65 10 0
EV 65 10 75 20 0
RV 40 10 50 20 0
LI 65 15 75 15 0
EV 60 10 60 10 0
EV 60 10 60 10 0
EV 60 10 60 10 0
EV 60 10 60 10 0
EV 62 11 61 10 0
TY 20 17 1 1 0 0 15 * j[/fcd]

su questo ramo abbiamo da una kvl $ dotV=dotE+ZdotI $ e quindi $ sum dotV*dotbarI $ diventa $ sum(dotE+ZdotI)*dotbarI=sumdotEdotbarI+ZI^2=0 $

che equivale a dire $ sum-dotEdotbarI=sumZI^2 $
dove il segno - davanti a $ dotE $ è presente per la convenzione utilizzata e l'ultima uguaglianza equivale a dire che la potenza generata è pari alla potenza impegnata sull'impedenza...
ho fatto tutto questo per chiedervi..è necessaria e sufficiente questa dimostrazione? voi cosa aggiungereste/togliereste?
perchè purtroppo ho il teorema di Boucherot nel mio programma di elettrotecnica ma il libro di testo non lo tratta molto bene.
Grazie in anticipo

[RenzoDF]

"Mos": i..è necessaria e sufficiente questa dimostrazione? voi cosa aggiungereste/togliereste?

Mi limiterei a sviluppare Tellegen in forma simbolica, via sostituzione delle correnti coniugate, per passare alla sommatoria delle potenze complesse e quindi a particolarizzare suddividendo nella sommatoria delle potenze attive e reattive, e lascerei perdere quell'esempio.

Unico particolare: ti potrebbe essere richiesto il perché sia possibile sostituire le correnti con le coniugate, cosa risponderesti?

Giusto per avere un (più che raro) riferimento storico, dai un occhio a cosa diceva Paul Boucherot nel presentare il suo teorema al "Congrès international d'électricitè" tenuto a Parigi, dal 18 al 25 agosto del 1900

http://archive.org/stream/congrsinterna ... 3/mode/2up

[Mos1]

"RenzoDF":
Mi limiterei a sviluppare Tellegen in forma simbolica, via sostituzione delle correnti coniugate,

in che senso in forma simbolica?

"RenzoDF":
Unico particolare: ti potrebbe essere richiesto il perché sia possibile sostituire le correnti con le coniugate, cosa risponderesti?

bella domanda..io passo alle correnti coniugate per ritrovarmi la definizione di potenza complessa:
dato che $ sumdotV*dotI=0 $ allora deve essere nulla anche la somma $ sumdotV*dotbarI=0 $ perchè è possibile questa sostituzione?

comunque grazie sempre dell'aiuto

[RenzoDF]

"Mos":... in che senso in forma simbolica?

Tale e quale alla sommatoria da te scritta (punto intermedio a parte).

"Mos":... perchè è possibile questa sostituzione?

Semplicemente perché la somma dei coniugati è pari al coniugato della somma e quindi, se un certo 'insieme di correnti $I_i$ soddisfano ai vincoli topologici della rete (ai nodi) , lo soddisfano anche l'insieme delle loro coniugate $I_i^{\text(*)}$.

[Mos1]

"RenzoDF":
Semplicemente perché la somma dei coniugati è pari al coniugato della somma e quindi, se un certo 'insieme di correnti $I_i$ soddisfano ai vincoli topologici della rete (ai nodi) , lo soddisfano anche l'insieme delle loro coniugate $I_i^{\text(*)}$.

giusto..capito, me lo ricorderò, non ci avrei mai pensato.
Grazie mille!!