Elettrotecnica - Risposta al gradino circuito RC
Se io avessi un generatore di tensione, un resistore e infine un condensatore collegati tra loro in parallelo, quando il generatore di tensione commuta da 0 V a 5 V anche la tensione sul condensatore commuta in quel medesimo istante?...perchè il mio dubbio è dato dal fatto che la tensione sul condensatore non può variare istantaneamente...
Risposte
la tensione sul condensatore diventerà $5V$ ma ovviamente non istantaneamente, ovvero ci sarà un transitorio. Anche per quanto riguarda il generatore vale il medesimo discorso in quanto non esistono fisicamente dispositivi con tempo di commutazione uguale a $0$. Non riesco a capire il tuo dubbio, o meglio spero di avertelo risolto 
Supponendo che il generatore commuti istantaneamente la tensione sul condensatore commuta istantaneamente dal momento che sono in parallelo e quindi la tensione deve essere la stessa su entrambi?
bè questo è un caso veramente particolare, comunque in teoria penso di si
Domanda strana in effetti... Direi che se il generatore è ideale sotto tutti i punti di vista, allora si, la tensione sul condensatore cambia in modo istantaneo. Siccome però i generatori hanno una loro (seppur piccola) resistenza interna avrai comunque un transistorio.
"elgiovo":
Domanda strana in effetti... Direi che se il generatore è ideale sotto tutti i punti di vista, allora si, la tensione sul condensatore cambia in modo istantaneo. Siccome però i generatori hanno una loro (seppur piccola) resistenza interna avrai comunque un transistorio.
Quello che mi chiedo è questo: perchè allora la tensione sul condensatore viene definita tale che non può variare istantaneamente?
beh in corrente continua il condensatore equivale ad un aperto quindi si, sia per V=0 che per V=5 la tensione è la stessa
ma in ogni caso non esistono nemmeno generatori di tensione senza resistenza interna, con la resistenza del generatore si avrebbe
$ R_g*i_g(t) - e(t) = v_c(t)$
$v_R(t) = -v_c(t)$
$i_R(t)= i_g(t) + i_c(t)$
cioè se$i_R = v_R/R = -v_c/R$ , $i_c=C*dot(v_c)$ e $i_g = e/R_g + v_c/R_g$ si ha
$-v_c/R = e/R_g + v_c/R_g + C*dot(v_c)$
se prendi come variabile di stato la tensione sul condensatore $x=v_c$ , come ingresso la tensione del generatore, $u(t)=e(t)$ hai il sistema
$dot(x) = -(R+R_g)/(C*R*R_g) * x - u/(R_g*C)$
se poi vuoi osservare la tensione sul condensatore prendi $y(t)=x(t)$
posto per semplicità $a=(R+R_g)/(C*R*R_g)$ e $b=1/(R_g*C)$
trasformo e ho $sX(s) - x(0) = -aX(s) - bU(s)$ cioè se $v_c(0)=0V$ diviene $X(s)= - b/(s+a) U(s)$
(nota che $Y(s)=X(s)$ quindi $G(s) = - b/(s+a) $)
quindi la risposta al gradino (di ampiezza U) è $Y_g(S) = -(bU)/(s*(s+a))$
antitrasformo
i residui: $K1 = -(bU)/a$ e $K2 = (bU)/a$ quindi $Y_g(s) = -(bU)/a*s + (bU)/(a*(s+a))$
antitrasformo e viene
$y(t) = -(bU)/a + (bU)/a e^(-at)$
cioè $y(t) = (RU)/(R+Rg) *( e^(-(R+Rg)/(R Rg C) t) -1)$
quindi guarda al calare di $R_g$ che succede, per $R_g -> 0$ l'argomento dell'esponenziale, quindi la costante di tempo $->-oo$
e dunque al caso limite $R_g=0$ si, commuterebbe in un tempo nullo
inoltre come puoi vedere $v_c$ sarebbe esattamente $-e(t)$ che in questo caso è $e(t)=U$
ma in ogni caso non esistono nemmeno generatori di tensione senza resistenza interna, con la resistenza del generatore si avrebbe
$ R_g*i_g(t) - e(t) = v_c(t)$
$v_R(t) = -v_c(t)$
$i_R(t)= i_g(t) + i_c(t)$
cioè se$i_R = v_R/R = -v_c/R$ , $i_c=C*dot(v_c)$ e $i_g = e/R_g + v_c/R_g$ si ha
$-v_c/R = e/R_g + v_c/R_g + C*dot(v_c)$
se prendi come variabile di stato la tensione sul condensatore $x=v_c$ , come ingresso la tensione del generatore, $u(t)=e(t)$ hai il sistema
$dot(x) = -(R+R_g)/(C*R*R_g) * x - u/(R_g*C)$
se poi vuoi osservare la tensione sul condensatore prendi $y(t)=x(t)$
posto per semplicità $a=(R+R_g)/(C*R*R_g)$ e $b=1/(R_g*C)$
trasformo e ho $sX(s) - x(0) = -aX(s) - bU(s)$ cioè se $v_c(0)=0V$ diviene $X(s)= - b/(s+a) U(s)$
(nota che $Y(s)=X(s)$ quindi $G(s) = - b/(s+a) $)
quindi la risposta al gradino (di ampiezza U) è $Y_g(S) = -(bU)/(s*(s+a))$
antitrasformo
i residui: $K1 = -(bU)/a$ e $K2 = (bU)/a$ quindi $Y_g(s) = -(bU)/a*s + (bU)/(a*(s+a))$
antitrasformo e viene
$y(t) = -(bU)/a + (bU)/a e^(-at)$
cioè $y(t) = (RU)/(R+Rg) *( e^(-(R+Rg)/(R Rg C) t) -1)$
quindi guarda al calare di $R_g$ che succede, per $R_g -> 0$ l'argomento dell'esponenziale, quindi la costante di tempo $->-oo$
e dunque al caso limite $R_g=0$ si, commuterebbe in un tempo nullo
inoltre come puoi vedere $v_c$ sarebbe esattamente $-e(t)$ che in questo caso è $e(t)=U$
La mia domanda è questa: perchè quando si ha un generatore di tensione, un resistore e un condensatore in serie allora la tensione sul condensatore viene assunta tale che non può variare istantaneamente (con un gradino di tensione )?
perchè tensione nel condensatore (e la corrente nell'induttore), rappresentano rispettivamente energia elettrica e magnetica nel circuito, se la tensione nel condensatore variasse istantaneamente si avrebbe una variazione finita di energia in un tempo infinitesimo (quindi $P->oo$), questo comporterebbe l'assorbimento di una potenza infinita che per il teorema di Tellegan dovrebbe essere fornita da qualche generatore presente nella rete; ma siccome non esistono generatori in grado di erogare potenza infinita escludiamo a priori che la variazione avvenga. Ti ho convinto?
per il condensatore hai che la relazione ic-vc è $d/(dt) v_c = i_c/C$
quindi se hai un generatore di tensione in serie con un resistore e un condensatore la corrente su C è la stessa di quella sul generatore e quindi $d/(dt)v_c$ è proporzionale ad una corrente che ha un BEN DETERMINATO valore in ogni istante,
se prendi un generatore ideale in parallelo ad una resistenza e ad un C
la corrente su C è $i_c = i_g + i_r$
quindi $d/(dt) v_c = (i_g+i_r)/C$
ma essendo un generatore ideale NON hai vincoli su $i_g$ che potrebbe anche essere infinita nell'ottica ideale.
se E variasse a gradino $|d/(dt)E| = oo$
per la lkt $e(t)=v_c(t)$
ma se $e(t) = v_c(t)$ allora $d/(dt) e(t) = d/(dt) v_c(t)$ -> $|d/(dt) v_c| = oo$ quindi anche vc varierebbe a gradino... e cosa succede ad $I_g$?
beh $d/(dt) v_c = (i_g+i_r)/C = oo$ poiche $i_r=E/R$ è finita perforza $|i_g| = oo$ e questo capisci non è possibile
leggi il mio messaggio di prima.
ovviamente non assicuro nulla, ho fatto tutto ora e potrebbe non essere giusto...
comunque la vera differenza tra la serie e(t)-R-C e il parallelo è che nella serie il generatore non è ideale, vede una resistenza, nel parallelo è ideale cioè è un puro generatore di tensione senza resistenza interna quindi anche la tensione su $v_c$ avra un andamento ideale mentre nella serie no, l'andamento del sistema segue una dinamica reale.
quindi se hai un generatore di tensione in serie con un resistore e un condensatore la corrente su C è la stessa di quella sul generatore e quindi $d/(dt)v_c$ è proporzionale ad una corrente che ha un BEN DETERMINATO valore in ogni istante,
se prendi un generatore ideale in parallelo ad una resistenza e ad un C
la corrente su C è $i_c = i_g + i_r$
quindi $d/(dt) v_c = (i_g+i_r)/C$
ma essendo un generatore ideale NON hai vincoli su $i_g$ che potrebbe anche essere infinita nell'ottica ideale.
se E variasse a gradino $|d/(dt)E| = oo$
per la lkt $e(t)=v_c(t)$
ma se $e(t) = v_c(t)$ allora $d/(dt) e(t) = d/(dt) v_c(t)$ -> $|d/(dt) v_c| = oo$ quindi anche vc varierebbe a gradino... e cosa succede ad $I_g$?
beh $d/(dt) v_c = (i_g+i_r)/C = oo$ poiche $i_r=E/R$ è finita perforza $|i_g| = oo$ e questo capisci non è possibile
leggi il mio messaggio di prima.
ovviamente non assicuro nulla, ho fatto tutto ora e potrebbe non essere giusto...
comunque la vera differenza tra la serie e(t)-R-C e il parallelo è che nella serie il generatore non è ideale, vede una resistenza, nel parallelo è ideale cioè è un puro generatore di tensione senza resistenza interna quindi anche la tensione su $v_c$ avra un andamento ideale mentre nella serie no, l'andamento del sistema segue una dinamica reale.
Quindi ricapitolando il condensatore può variare la tensione istantaneamente (se collegato in parallelo con un generatore di tensione ideale)?...anche se la fisica non ammette questo...
nella pura teoria si, nella vita reale no, la fisica ha sempre ragione.
Un'ultima domanda: dato un circuito con un generatore di tensione, un condensatore e un numero non definito di resistori, per t -> + oo la tensione sul condensatore si porterà sempre al valore di tensione del generatore? ( ovviamente questo deve essere acceso per t -> + oo)
?? no assolutamente, dipenderà da come è fatto il circuito, ma come ti vengono a mente queste domande? XD
"Blackorgasm":
?? no assolutamente, dipenderà da come è fatto il circuito, ma come ti vengono a mente queste domande? XD
Chiaramente se i resistori possono essere ricondotti ad un resistore equivalente e questo è posto in serie col condensatore....quindi generatore di tensione, resistore e condensatore in serie...
ah va bé ora si.
ah va bé ora si.
(dato che ci sono XD) Chiedo anche questa cosa: se collego in parallelo un resistore e un condensatore, quando il condensatore si scarica attraverso il resistore la corrente (sul condensatore) entra dal terminale positivo ed esce da quello negativo, mentre invece se fossero in serie accadrebbe esattamente il contrario?
eh no, in serie no
lkt -> $eg(t) = R*i(t) + V_c(t)$ devi tenere conto della caduta di tensione su R
chiaramente se $d/(dt)V_c(t)=1/Ci(t)$ hai $dot(V_c) = eg (t)/(RC) - V_c/(RC)$
risolvi e (contando che e(t) non è costante) a me viene $V_c(t) = int_(t_0)^t 1/(RC) e^(-tau/(RC))*eg (t-tau) d tau + V_c(0)*e(-t/(RC))$ ma non so se sia giusta
lkt -> $eg(t) = R*i(t) + V_c(t)$ devi tenere conto della caduta di tensione su R
chiaramente se $d/(dt)V_c(t)=1/Ci(t)$ hai $dot(V_c) = eg (t)/(RC) - V_c/(RC)$
risolvi e (contando che e(t) non è costante) a me viene $V_c(t) = int_(t_0)^t 1/(RC) e^(-tau/(RC))*eg (t-tau) d tau + V_c(0)*e(-t/(RC))$ ma non so se sia giusta
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