[Elettrotecnica] esercizio sistemi lineari
Ciao a tutti! Qualcuno con un po' di pazienza potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Riguardo al primo punto, ho scelto come variabili di stato $x_1(t)=v_c(t)$ e $x_2(t)=i_L(t)$, ottenendo le seguenti matrici del modello ingresso-stato-uscita:
\[ A=\begin{pmatrix}
-1/RC & -1/C \\
1/L & 0 \end{pmatrix} \] \[ B=\begin{pmatrix}
1/C \\
0 \end{pmatrix} \] \[ C=\begin{pmatrix}
0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ D=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \\ x'(t)=A x(t)+B u(t) \\ y(t)=C x(t)+D u(t) \]
Per il modello ingresso-uscita ho ottenuto la fdt di Laplace:
$ (Y(s))/(U(s))=(1/LC)/(s^2+s/(RC)+1/(LC)) $
Potreste dirmi se quanto ottenuto è giusto e come proseguire con gli altri punti? Grazie
Riguardo al primo punto, ho scelto come variabili di stato $x_1(t)=v_c(t)$ e $x_2(t)=i_L(t)$, ottenendo le seguenti matrici del modello ingresso-stato-uscita:
\[ A=\begin{pmatrix}
-1/RC & -1/C \\
1/L & 0 \end{pmatrix} \] \[ B=\begin{pmatrix}
1/C \\
0 \end{pmatrix} \] \[ C=\begin{pmatrix}
0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ D=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \\ x'(t)=A x(t)+B u(t) \\ y(t)=C x(t)+D u(t) \]
Per il modello ingresso-uscita ho ottenuto la fdt di Laplace:
$ (Y(s))/(U(s))=(1/LC)/(s^2+s/(RC)+1/(LC)) $
Potreste dirmi se quanto ottenuto è giusto e come proseguire con gli altri punti? Grazie
Risposte
Io mi trovo $ W(s)=(1/(LC))/(s^2+1/(RC)s+1/(LC) $; è un tuo errore nel postare il risultato o mio?
Si scusami, ho sbagliato io nel postare.. Quindi presumo che il modello ingresso-stato-uscita ti viene uguale a quello che ho calcolato.
Suggerimenti per gli altri punti??
Suggerimenti per gli altri punti??
Il prossimo punto lo puoi risolvere in due modi ( entrambi semplici ); te li indico tutti e due:
1) se osservi il circuito elettrico, noti che se stiamo in corrente continua ( ovvero quando $i(t)=cost$, come indicato nella traccia), allora l'induttore si comporta da cortocircuito mentre la capacità da circuito aperto. Conseguenza di ciò, tutta la corrente circola nel ramo dell'induttanza e quindi si ha:
$ { ( i_L=i ),( i_R=i_C=0 ),( v_L=v_R=v_c=0 ):} $
che messo in termini di variabili di stato diventa:
$ { ( x_1=0 ),( x_2=i ):} $
2)sfruttando la definizione di equilibrio di un sistema, si tratta di risolvere il seguente problema:
$ { ( dot(x)_1=0 ),( dot(x)_2=0 ):}hArr { ( x_1=0 ),( x_2=u=i ):} $
ovviamente tale condizione di stabilità è del tutto indipendente dai parametri del circuito ( purchè abbiano senso fisicamente )
Per gli altri due punti è seplice: devi trasformare secondo Laplace l'ingresso, moltiplicarlo per la $W(s)$ che hai calcolato e trovi la risposta del sistema.
Infine ne fai lo schema a blocchi
1) se osservi il circuito elettrico, noti che se stiamo in corrente continua ( ovvero quando $i(t)=cost$, come indicato nella traccia), allora l'induttore si comporta da cortocircuito mentre la capacità da circuito aperto. Conseguenza di ciò, tutta la corrente circola nel ramo dell'induttanza e quindi si ha:
$ { ( i_L=i ),( i_R=i_C=0 ),( v_L=v_R=v_c=0 ):} $
che messo in termini di variabili di stato diventa:
$ { ( x_1=0 ),( x_2=i ):} $
2)sfruttando la definizione di equilibrio di un sistema, si tratta di risolvere il seguente problema:
$ { ( dot(x)_1=0 ),( dot(x)_2=0 ):}hArr { ( x_1=0 ),( x_2=u=i ):} $
ovviamente tale condizione di stabilità è del tutto indipendente dai parametri del circuito ( purchè abbiano senso fisicamente )
Per gli altri due punti è seplice: devi trasformare secondo Laplace l'ingresso, moltiplicarlo per la $W(s)$ che hai calcolato e trovi la risposta del sistema.
Infine ne fai lo schema a blocchi
Una volta determinata la condizione di equilibrio del sistema, per calcolare le uscite di equilibrio, basta fare in questo modo?
\[ y(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} i =i\]
Non mi è chiaro poi come fare a discutere la stabilità degli stati di equilibrio al variare di R,L,C.
Forse dovrei studiare il $det(\lambda I - A)$?
\[ y(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} i =i\]
Non mi è chiaro poi come fare a discutere la stabilità degli stati di equilibrio al variare di R,L,C.
Forse dovrei studiare il $det(\lambda I - A)$?
O in modo più semplice: tu già sai dal modello isu che $ y=x_2 $ e dalla condizione di equilibrio sai che $ x_2=i $ ecco perchè non ho aggiunto nulla sulle uscite nelle condizioni di equilibrio.
Per quanto riguarda, invece, la stabilità dello stato di equilibrio, tu come ragioneresti?
Prendo il polinomio caratteristico e determino i poli.
$ s_(1,2)=-1/2+-1/2*\sqrt(1/(RC)^2-4/(LC)) $
Poi discuto l'argomento della radice. In questo modo ottengo le relazioni tra R,L,C che mi permettono di ottenere poli reali coincidenti, distinti e complessi coniugati.
Però la traccia chiede la stabilità degli stati di equilibrio, non ho capito come va risolto
$ s_(1,2)=-1/2+-1/2*\sqrt(1/(RC)^2-4/(LC)) $
Poi discuto l'argomento della radice. In questo modo ottengo le relazioni tra R,L,C che mi permettono di ottenere poli reali coincidenti, distinti e complessi coniugati.
Però la traccia chiede la stabilità degli stati di equilibrio, non ho capito come va risolto
Mai sentito parlare della " stabilità dei punti di equilibrio " ?
Si ma fino adesso avevo sempre studiato la stabilità con rappresentazione "esterna" e non considerando le variabili di stato. Per questo mi sono bloccato
Non è quello. Ti do la definizione, giusto per farti capire di cosa parliamo, ma se non l'hai mai studiato non saprei.
La definizione generale è la seguente: un punto di equilibrio $ bar(x) $ si dice asintoticamente stabile se $ lim_(t -> +oo)|x(t)-bar(x)(t)|=0 $
In altri termini, devi capire cosa succede al sistema quando, partendo dal suo stato di equilibrio, subisce una perturbazione
La definizione generale è la seguente: un punto di equilibrio $ bar(x) $ si dice asintoticamente stabile se $ lim_(t -> +oo)|x(t)-bar(x)(t)|=0 $
In altri termini, devi capire cosa succede al sistema quando, partendo dal suo stato di equilibrio, subisce una perturbazione
Se ho capito bene, nel mio caso i punti di equilibrio sono $x_1=0 $ e $x_2=i$. Ora devo vedere cosa succede perturbando il sistema.
Devo risolvere due limiti $ lim_(t -> +oo)|x_1(t)-bar(x_1)(t)|=0 $ e $ lim_(t -> +oo)|x_2(t)-bar(x_2)(t)|=0 $ e verificare che i valori siano nulli.
Ma i valori $ x(t)$ e $bar(x)(t) $ quali sarebbero?
Devo risolvere due limiti $ lim_(t -> +oo)|x_1(t)-bar(x_1)(t)|=0 $ e $ lim_(t -> +oo)|x_2(t)-bar(x_2)(t)|=0 $ e verificare che i valori siano nulli.
Ma i valori $ x(t)$ e $bar(x)(t) $ quali sarebbero?
Devo chiederti umilmente scusa ( sarà il troppo caldo ), quello che ho detto sulla stabilità dei punti di equilibrio è tutto vero, ma nel caso di un sistema lineare ( qual è il tuo ) è sufficiente valutare gli autovalori della matrice dinamica $A$.
Quindi devi studiare $ p(lambda)=|lambdaI-A|=0 $.
Scusami ma ero convinto ( e non so ancora il perchè ) che fosse un sistema non lineare
Quindi devi studiare $ p(lambda)=|lambdaI-A|=0 $.
Scusami ma ero convinto ( e non so ancora il perchè ) che fosse un sistema non lineare
No figurati non preoccuparti, anzi ti ringrazio per la pazienza nel rispondere
Quindi il procedimento iniziale che stavo seguendo era quello corretto? Valuto semplicemente gli autovalori in funzione dei parametri R,L,C. Nel mio caso mi sembra che il sistema sia sempre stabile perché i parametri circuitali sono sempre positivi (devo comunque verificare)
Quindi il procedimento iniziale che stavo seguendo era quello corretto? Valuto semplicemente gli autovalori in funzione dei parametri R,L,C. Nel mio caso mi sembra che il sistema sia sempre stabile perché i parametri circuitali sono sempre positivi (devo comunque verificare)
Si calcola quel determinante e vedi le condizioni per cui risulta asintoticamente stabile e instabile
Riguardo al terzo punto, ho trasformato secondo Laplace l'ingresso e l'ho moltiplicato per la $W(s)$.
Il calcolo l'ho effettuato per i valori dell'ingresso nell'intervallo $0=0$ dovrei fare qualcosa? Sbaglio o è un po' strana questa suddivisione in intervalli del segnale?
Il calcolo l'ho effettuato per i valori dell'ingresso nell'intervallo $0
Infatti, è strano c'è una sinusoide per $0=0$...sarà un errore di stampa?
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