[Elettrotecnica] Esercizio circuito RLC

[Patras1]

Ciao a tutti, vi chiedo cortesemente di aiutarmi con questo esercizio che non mi viene. La sua consegna è:
La rete di figura, di cui sono noti tutti i parametri R1, R2, R3, L1, L2 e C1 e le grandezze impresse J1 e J2, è in regime
stazionario, con l’interruttore chiuso. All’istante t=0 l’interruttore viene aperto.
Determinare: l’andamento della tensione vAB(t) per t > 0.
[fcd="Schema"][FIDOCAD]
MC 5 60 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 105 60 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 115 65 4 3 0 0 0 * R2
TY 115 70 4 3 0 0 0 *
MC 135 60 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 145 65 4 3 0 0 0 * J2
TY 145 70 4 3 0 0 0 *
MC 40 60 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 50 65 4 3 0 0 0 * J1
TY 50 70 4 3 0 0 0 *
MC 85 35 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 95 40 4 3 0 0 0 * R3
TY 95 45 4 3 0 0 0 *
MC 65 35 1 0 750
LI 105 35 105 50 0
LI 135 50 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
LI 105 70 105 85 0
LI 105 85 135 85 0
LI 135 85 135 70 0
LI 50 35 40 35 0
LI 40 35 40 50 0
LI 40 70 40 85 0
LI 40 85 105 85 0
LI 65 35 70 35 0
SA 65 35 0
SA 50 35 0
TY 50 35 4 3 0 0 0 * A B
MC 15 50 0 0 170
FCJ
TY 25 55 4 3 0 0 0 * C1
TY 25 60 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 120
FCJ
TY 25 40 4 3 0 0 0 * L1
TY 25 45 4 3 0 0 0 *
LI 40 50 40 55 0
LI 105 55 105 50 0
LI 135 50 135 55 0
LI 25 50 40 50 0
LI 25 35 40 35 0
LI 15 35 5 35 0
LI 5 35 5 55 0
LI 15 50 5 50 0
LI 5 70 5 85 0
LI 5 85 40 85 0
TY 10 70 4 3 0 0 0 * R1
SA 40 35 0
SA 40 50 0
SA 5 50 0
SA 105 35 0
SA 105 85 0
SA 40 85 0
MC 155 55 1 0 120
FCJ
TY 165 60 4 3 0 0 0 * L2
TY 165 65 4 3 0 0 0 *
LI 155 55 155 35 0
LI 155 35 135 35 0
LI 135 85 155 85 0
LI 155 85 155 65 0
SA 135 35 0
SA 135 85 0
LI 70 35 80 35 0
LI 95 35 105 35 0[/fcd]

R2=10 Ω	R3=4 Ω
L2= 10 mH	L1 = 40 mH

Io ho provato a svolgerlo in questo modo (potete non correggermi mi basta la vostra soluzione):

per t<0 a regime le bobine diventano corti e i condensatori aperti quindi la corrente del generatore di destra va tutta sul suo ramo rendendolo "staccato" dalla parte sinistra. La corrente iniziale $I1$ sull'induttore $L1$ è quindi data da:
[fcd="SCHEMA"][FIDOCAD]
[FIDOCAD]
MC 5 60 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 105 60 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 115 65 4 3 0 0 0 * R2
TY 115 70 4 3 0 0 0 *
MC 135 60 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 145 65 4 3 0 0 0 * J2
TY 145 70 4 3 0 0 0 *
MC 40 60 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 50 65 4 3 0 0 0 * J1
TY 50 70 4 3 0 0 0 *
MC 85 35 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 95 40 4 3 0 0 0 * R3
TY 95 45 4 3 0 0 0 *
LI 105 35 105 50 0
LI 135 50 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 105 70 105 85 0
LI 105 85 135 85 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 135 85 135 70 0
LI 50 35 40 35 0
LI 40 35 40 50 0
LI 40 70 40 85 0
LI 40 85 105 85 0
LI 65 35 70 35 0
LI 40 50 40 55 0
LI 105 55 105 50 0
LI 135 50 135 55 0
LI 25 35 40 35 0
LI 15 35 5 35 0
LI 5 35 5 55 0
LI 5 70 5 85 0
LI 5 85 40 85 0
TY 10 70 4 3 0 0 0 * R1
SA 40 35 0
SA 105 35 0
SA 105 85 0
SA 40 85 0
LI 155 55 155 35 0
LI 155 35 135 35 0
LI 135 85 155 85 0
LI 155 85 155 65 0
SA 135 35 0
SA 135 85 0
LI 70 35 80 35 0
LI 95 35 105 35 0
LI 155 55 155 65 0
LI 50 35 65 35 0
LI 15 35 30 35 0
TY 20 40 4 3 0 0 0 * I1
MC 25 35 2 0 074[/fcd]
Quindi per il partitore di corrente $I1=J1 \frac{R2+R3}{R1+R2+R3}$
$v_{AB}(0-)=0$ ovviamente perché è in corto.
Secondo il mio ragionamento aprendo il circuito per l'induttore di destra non cambia niente (rimane un corto) quindi per trovare $v_{AB}$ non mi resta altro che fare il principio di Kirchoff delle tensioni sulla maglia centrale e per far questo mi basta trovare la tensione del generatore $J1$ :
[fcd="RLC 2"][FIDOCAD]
MC 5 60 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 40 60 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 50 65 4 3 0 0 0 * J1
TY 50 70 4 3 0 0 0 *
LI 40 35 40 50 0
LI 40 70 40 85 0
MC 15 50 0 0 170
FCJ
TY 25 55 4 3 0 0 0 * C1
TY 25 60 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 120
FCJ
TY 25 40 4 3 0 0 0 * L1
TY 25 45 4 3 0 0 0 *
LI 40 50 40 55 0
LI 25 50 40 50 0
LI 25 35 40 35 0
LI 15 35 5 35 0
LI 5 35 5 55 0
LI 15 50 5 50 0
LI 5 70 5 85 0
LI 5 85 40 85 0
TY 10 70 4 3 0 0 0 * R1
SA 40 50 0
SA 5 50 0
MC 30 35 0 0 074[/fcd]

Allora applicando i principi di Kirchoff e per semplicità $C=C1$, $L=L1$ $R=R1$ e $J=J1$:
$i_L=J-i_C=J-C\frac{dv_C}{dt}$
$v_J=RJ+L\frac{di_L}{dt}=RJ-LC\frac{d^2 v_C}{dt^2}=RJ+v_C$
Si ricava quindi : $v_C(t)+LC\frac{d^2 v_C}{dt^2}=0$ che dà come soluzione:
$v_C(t)=a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)$ dove $\omega = \frac{1]{\sqrt{LC}}$
essendo $v_C(t=0)=0$ (perché era cortocircuitato dall'induttore) allora $v_C(t)=a\sin(\omega t)$
conoscendo inoltre per il calcolo di prima, $i_L(0)=J1 \frac{R2+R3}{R1+R2+R3}$ per $t=0$ abbiamo
$i_L=J-i_C=J-a\sqrt{\frac{C}{L}}\cos(\omega t)$ e quindi $a=\frac{1200}{11}$

quindi $v_{AB}=v_J=RJ+v_C(t)=120+\frac{1200}{11}\sin(500t)$ mentre la soluzione corretta è

$v_{AB}=200\sin(500t)+120+100e^{-1000t}$
per favore se qualcuno mi può aiutare mi risponda.

[RenzoDF]

Tanto per cominciare, per t<0 (a regime) il resistore R2 è cortocircuitato da L2.

[Patras1]

grazie! si ho fatto un grande errore e non mi ero accorto quindi $I1=J1\frac{R3}{R1+R3}=5$ e quindi sostituendo alla fine viene che $a=200$ e ci siamo quasi, manca $100e^{-1000t}$ che non capisco come viene fuori

[RenzoDF]

Ti faccio notare che $v_{AB}$ non è pari alla sola tensione presente ai morsetti del GIC sinistro.

BTW Kirchhoff con due h e due f.

[Patras1]

Si a quanto pare c'è una variazione di corrente sull'induttore che prima di $t=0$ è $J2+J1\frac{R1}{R1+R3}$ e poi con l'apertura diventa J2 quindi la scarica di corrente sulla resistenza $R2$ crea una tensione $v_L= L\frac{di_L}{dt}=Li_L(0)(1000)e^{-1000t}=-100e^{-1000t}$ che poi diventa negativa perchè verso opposto a $v_{AB}$ grazie per l'aiuto i conti sembrano tornare

[RenzoDF]