[Elettrotecnica] Circuito RCL con generatore controllato
Volevo chiedere una mano per questo esercizio.
Posso usare la sovrapposizione?
Risposte
"maxira":
... Posso usare la sovrapposizione?
Sì, ma non lo vedo "conveniente", userei Thevenin.
Ok, quindi dato che c'è il generatore controllato spengo e(t), apro i morsetti dell'induttore e inserisco un generatore di prova V=1. Dovrei trovare la Rth calcolando il rapporto $ V/i_L = 1/i_L $.
Mi trovo:
$ i_L=i_2+gv_1 $
$ 1=v_2+v_1 $
$ i_L=i_2+gi_1R_1 $
$ 1-i_1R_1=i_2R_2 rArr (1-i_1R_1)/(R_2)=i_2 $
$ i_L=(1-i_1R_1)/(R_2)+gi_1R_1 $
E poiché $ i_1=1/R_1 $, allora $ i_L=(1-1)/(R_2)+g = g $.
$ Rth= V/i_L = 1/g = 0.25 A $
Quindi il circuito di Thevenin ha Vth=1V e Rth=0.25 A. La corrente che attraversa L mi risulta $ J=0.04cos(500t-1.56) $, mentre $ V=0.99cos(500t+0.01) $.
Mi trovo:
$ i_L=i_2+gv_1 $
$ 1=v_2+v_1 $
$ i_L=i_2+gi_1R_1 $
$ 1-i_1R_1=i_2R_2 rArr (1-i_1R_1)/(R_2)=i_2 $
$ i_L=(1-i_1R_1)/(R_2)+gi_1R_1 $
E poiché $ i_1=1/R_1 $, allora $ i_L=(1-1)/(R_2)+g = g $.
$ Rth= V/i_L = 1/g = 0.25 A $
Quindi il circuito di Thevenin ha Vth=1V e Rth=0.25 A. La corrente che attraversa L mi risulta $ J=0.04cos(500t-1.56) $, mentre $ V=0.99cos(500t+0.01) $.
Premesso che dovresti sempre specificare le convenzioni e non farle indovinare a che legge le tue relazioni, ti faccio solo notare un paio di cose "strane" che saltono subito all'occhio:
E concludo chiedendoti: non ti sembra strano che nei tuoi calcoli non compaia la capacità C?
NB Applicando Thevenin in alternata, non andrai a determinare $R_{Th}$ ma $Z_{Th}$.
"maxira":
... E poiché $ i_1=1/R_1 $, ...
"maxira":
... Quindi il circuito di Thevenin ha Vth=1V ...
E concludo chiedendoti: non ti sembra strano che nei tuoi calcoli non compaia la capacità C?
NB Applicando Thevenin in alternata, non andrai a determinare $R_{Th}$ ma $Z_{Th}$.
Hai ragione, ho confuso v1 con quel V=1. E' che quando ci sono i generatori controllati non so proprio come gestire le LKT o le LKC e finisco per sbagliare sempre qualcosa.
C'è un metodo per trovare sempre la giusta sostituzione da fare nel sistema di equazioni?
Però non ho capito perché Vth non dovrebbe valere 1.
C'è un metodo per trovare sempre la giusta sostituzione da fare nel sistema di equazioni?
Però non ho capito perché Vth non dovrebbe valere 1.
"maxira":
... Però non ho capito perché Vth non dovrebbe valere 1.
Perché la tensione ETh del GIT equivalente di Thevenin è pari alla tensione "a vuoto" ai morsetti della rete (privata dell'induttore), che non ha nulla a che vedere con l'arbitraria tensione di 1 volt del GIT ausiliario usato per determinare l'impedenza equivalente ZTh.
Giusto, ho capito.
Cosa posso fare invece per impostare il sistema nel modo corretto? (includendo C)
Cosa posso fare invece per impostare il sistema nel modo corretto? (includendo C)
Rimosso l'induttore, determini la tensione pilota V1 (e di conseguenza la tensione su Zc) via partitore di tensione, avrai quindi la corrente forzata dal generatore dipendente e da questa anche la tensione su R2; ti basterà infine una KVL all'anello centrale, per ottenere la tensione a vuoto, pari a Eth.
Ma in questa situazione, perché la corrente dovrebbe passare per R2?
Non dovrebbe circolare solo nel primo circuito a sinistra? Dando per scontato anche che la corrente gv2 passi per il collegamento tra i due circuiti.
"maxira":
... Ma in questa situazione, perché la corrente dovrebbe passare per R2?
Perché non ha altre "strade" dove poter "circolare".
"maxira":
... Non dovrebbe circolare solo nel primo circuito a sinistra? ...
No, circola anche nell'anello destro.
"maxira":
... Dando per scontato anche che la corrente gv2 passi per il collegamento tra i due circuiti.
La corrente non può "passare", può solo "circolare", ovvero necessita di un percorso chiuso; di conseguenza, attraverso quel solo conduttore che collega le due sue parti, la corrente sarà nulla.
Ah, ecco, adesso è più chiaro.
Dunque ho:
$ V_1=E(R_1)/(R_1+X_c) $
Da cui $ V_(th)=V_1-(gV_1*R_2) $, che è la tensione a vuoto.
Mentre per calcolare $ R_(th) $ spengo i due generatori e ottengo $ R_(th) = R_1||X_C+R_2 $.
$ V_L=V_(th)(X_L)/(R_th+X_L) $
$ P=1/2|V_L|^2/X_L $
Dunque ho:
$ V_1=E(R_1)/(R_1+X_c) $
Da cui $ V_(th)=V_1-(gV_1*R_2) $, che è la tensione a vuoto.
Mentre per calcolare $ R_(th) $ spengo i due generatori e ottengo $ R_(th) = R_1||X_C+R_2 $.
$ V_L=V_(th)(X_L)/(R_th+X_L) $
$ P=1/2|V_L|^2/X_L $
"maxira":
...
$ V_1=E(R_1)/(R_1+X_c) $
No, non devi usare le reattanze ma le impedenze.
"maxira":
... Da cui $ V_(th)=V_1-(gV_1*R_2) $, che è la tensione a vuoto.
No, stai sbagliando il percorso.
"maxira":
... Mentre per calcolare $ R_(th) $ spengo i due generatori e ottengo $ R_(th) = R_1||X_C+R_2 $.
No, non puoi determinare l'impedenza (non la resistenza) $Z_{Th}$ usando la "scorciatoia" della serie-parallelo quando sei in presenza di generatori dipendenti; spenti i generatori indipendenti, devi invece usare il metodo più generale, ovvero devi andare a forzare una corrente o una tensione con un generatore ausiliario ai morsetti del bipolo.
No, non devi usare le reattanze ma le impedenze.
Sì, scusa, volevo scrivere $ jX_C$.
No, stai sbagliando il percorso.
Come faccio a capire quale percorso è corretto?
No, non puoi determinare l'impedenza (non la resistenza) ZTh usando la "scorciatoia" della serie-parallelo quando sei in presenza di generatori dipendenti; spenti i generatori indipendenti, devi invece usare il metodo più generale, ovvero devi andare a forzare una corrente o una tensione con un generatore ausiliario ai morsetti del bipolo.
Ah, pensavo che conoscendo v1 si potesse vedere il generatore controllato come generatore di corrente semplice.
Facendo con il solito metodo ottengo:
$ R= v/(gv_1) = v/(gR_1) = R_2/(gR_1) $
Per quanto riguarda il "percorso" mi sono espresso male, non lo hai sbagliato ma, andando su quella "strada", non lo hai chiuso; mi riferivo al fatto che potevi usare il percorso sull'anello interno.
L'ultima relazione poi, non capisco proprio come l'hai trovata.
e, ancora una volta $Z_{Th}$, non $R$
L'ultima relazione poi, non capisco proprio come l'hai trovata.
e, ancora una volta $Z_{Th}$, non $R$
Detta J la corrente impressa (verso sinistra) dal GIC ausiliario e Zp l'impedenza del parallelo fra R1 e ZC, avrai che
$V_1=-Z_p J$
la tensione ai morsetti del GIT, con positivo a sinistra,
$V=-V_1+R_2 (J+gV_1)$
ed infine
$Z_{Th}=V/J$
$V_1=-Z_p J$
la tensione ai morsetti del GIT, con positivo a sinistra,
$V=-V_1+R_2 (J+gV_1)$
ed infine
$Z_{Th}=V/J$
Okay, mentre devo riprovare per Vth:
$ V_1=E(R_1)/(R_1+jX_C) $
$ V_2=gV_1R_2=gER_1/(R_1+jX_c)R_2 $
$ V_c=EjX_C/(jX_C+R_1) $
$ V_(th)=V_c+V_2 $
$ V_1=E(R_1)/(R_1+jX_C) $
$ V_2=gV_1R_2=gER_1/(R_1+jX_c)R_2 $
$ V_c=EjX_C/(jX_C+R_1) $
$ V_(th)=V_c+V_2 $
Ok. 
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