[Elettrotecnica] Circuito dinamico del 2° ordine con due generatori
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
I fasori e le impedenze sono $\bar{J} = 2/\alpha$ , $Z_C = -\alpha j$ , $Z_L = \alpha j$
[size=150]
t < 0 [/size]
Considero il circuito
Quindi $i_L(0) = E/R = 2$
$\bar{V_C} = \bar{J} Z_C = -2j$
$v(t) = 2sin(1000t - \pi/2)$ quindi $v(0) = -2$
[size=150]t → ∞[/size]
Applico la sovrapposizione degli effetti.
Spegnendo il GIC trovo
$v_{C \infty}' = 0$
Spegnendo il GIT trovo
$Z_{LR} = (RZ_L)/(R+Z_L) = \alpha (2+j) / 5$
$\bar{I}_C = \bar{J} \frac{ Z_{LR} }{Z_{LR} + Z_C} = (2+j) / (\alpha - 2\alpha j)$
$V_C = Z_C \bar{I}_C = 1$
Quindi $v_{C \infty}'' = sin(1000t)$
e di conseguenza $v_{C \infty} = v_{C \infty}' + v_{C \infty}'' = sin(1000t)$
[size=150]t > 0[/size]
Riguardo il transitorio, considero il sistema di equazioni
trovando che le condizioni iniziali sono $v_C(0) = -2$ (come trovato per $t<0$) e $frac{dv_C}{dt}(0) = -4000$
Esplicitando rispetto a $frac{dv_C}{dt}$ trovo che l'equazione differenziale omogenea associata è
$frac{d^2v_C}{dt^2} + 1/(RC) frac{dv_C}{dt} + 1/(LC) v_C = 0$
e gli autovalori sono reali e coincidenti, $\lambda = -1000$
$v_C(t) = c_1e^(-1000t) + c_2te^(-1000t) + sin(1000t)$
$v_C'(t) = -1000c_1e^(-1000t) + c_2(e^(-1000t) -1000te^(-1000t)) + 1000cos(1000t)$
Applicando le condizioni iniziali alle due equazioni sopra trovo che $c_1 = -2$ e $c_2 = -1.3$
In definitiva $v_C(t) = -2e^(-1000t) - 1.3te^(-1000t) + sin(1000t)$
Ma la soluzione fornita dal docente è
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo!
Risposte
Direi che sbagli nel ricavare c2, ma non sei il solo a sbagliare. 
Da dove arriva questo problema?
BTW Avresti risparmiato molti passaggi se tu avessi seguito un consiglio che ti avevo dato in un precedente thread riguardo alla determinazione degli autovalori.
Da dove arriva questo problema?
BTW Avresti risparmiato molti passaggi se tu avessi seguito un consiglio che ti avevo dato in un precedente thread riguardo alla determinazione degli autovalori.
"RenzoDF":
Direi che sbagli nel ricavare c2
Che stupido. Mi trovo $c_2 = -7000$ ora...
"RenzoDF":
ma non sei il solo a sbagliare.
Mi piace la premura dei docenti nel non farmi sentire solo quando sbaglio
"RenzoDF":
Da dove arriva questo problema?
Da una prova d'esame
"RenzoDF":
BTW Avresti risparmiato molti passaggi se tu avessi seguito un consiglio che ti avevo dato in un precedente thread riguardo alla determinazione degli autovalori.
Sinceramente non ricordo... potresti rammentarmelo?
Riguardo il termine a regime? Mi trovo la metà di quello del docente.
"DeltaEpsilon":
... Che stupido. Mi trovo $c_2 = -7000$ ora...
Ecco, bravo, ... ma è un errore condiviso, quel c2 è ancora errato.
"RenzoDF":
ma non sei il solo a sbagliare.
"DeltaEpsilon":
... Mi piace la premura dei docenti nel non farmi sentire solo quando sbaglio
Purtroppo succede spesso negli ultimi anni.
"DeltaEpsilon":
... [quote="RenzoDF"]Da dove arriva questo problema?
Da una prova d'esame ... [/quote]
Lo immaginavo, ma lo trovo IN CRE DI BI LE
"DeltaEpsilon":
... Sinceramente non ricordo... potresti rammentarmelo? ...
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=210127&start=30#p8475967
"DeltaEpsilon":
... Riguardo il termine a regime? Mi trovo la metà di quello del docente.
Ecco, in questo caso, l'errore è solo del docente.
Ed è immediato vederlo in quanto, a regime, il parallelo L C, essendo in risonanza a quella pulsazione, presenta impedenza infinita, di conseguenza tutta la corrente del GIC destro attraversa il resistore.
"RenzoDF":
Ecco, bravo, ... ma è un errore condiviso, quel c2 è ancora errato.
Mhm ok, ma da dove deriva questo errore?
"RenzoDF":
Lo immaginavo, ma lo trovo IN CRE DI BI LE
Ecco perchè i calcoli vanno fatti fare ai calcolatori, soprattutto se devi correggere centinaia di esami di centinaia di studenti... poi dopo succedono i casini...
"RenzoDF":
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=210127&start=30#p8475967
Ricordo quella risposta, ma non capisco come si applichi in questo contesto.
Qui ho due generatori, ma solo uno è sinusoidale.
Poi parli di ricavare la risposta a regime, mentre qui sto ricavando il transitorio.
"DeltaEpsilon":
... Mhm ok, ma da dove deriva questo errore? ...
Prova a indovinare.
"DeltaEpsilon":
... Ricordo quella risposta, ma non capisco come si applichi in questo contesto....
Spenti i due generatori (a destra puoi immaginare ci sia un GIC), devi semplicemente tagliare in due la rete (per es. lasciando R a sinistra e L C a destra) ed uguagliare a zero la somma delle due impedenze "viste" dal taglio, verso sinistra $Z_R$ e verso destra $Z_L\text{||}Z_C$.
"DeltaEpsilon":
... L'ipotesi non è che ci siano generatori isofrequenziali? E poi parli di ricavare la risposta a regime, mentre qui sto ricavando il transitorio.
Mi riferivo alla seconda parte del suggerimento, ovvero come evitare di passare per l'eq. diff.
Giusto per completare, passivata la rete
usando per comodità di scrittura le ammettenze, gli autovalori potrai determinarli dalla relazione
$Y_s+Y_d=0$
ovvero ricavare per la variabile $s$ le due soluzioni dalla
$1/R+1/(sL)+sC=0$
usando per comodità di scrittura le ammettenze, gli autovalori potrai determinarli dalla relazione
$Y_s+Y_d=0$
ovvero ricavare per la variabile $s$ le due soluzioni dalla
$1/R+1/(sL)+sC=0$
La seconda condizione iniziale dovrebbe essere $frac{dv_C}{dt}(0) = 4000$, quindi $c_2 = 1000$
Right?
Right?
Grazie mille!
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