[Elettrotecnica] Circuito dinamico con due generatori e calcolo corrente dell'induttore

[Bianchetto05]

Buon pomeriggio a tutti, sto vedendo alcune tracce nuove e ho trovato il circuito di seguito:



La richiesta l'ho già affrontata in passato ma in questo caso ho due generatori piuttosto che uno. Nell'analisi per $t>0$ penso che applicare la sovrapposizione degli effetti sia ancora valida come scelta, ma nel caso di $t<0$ e $t-> \infty$ come si procede?

[Bianchetto05]

aahh okok adesso è chiaro! Io avevo capito di aver sbagliato la quarta SDE e la seconda condizione iniziale del problema di Cauchy (quella con la corrente derivata per capirci).

In conclusione quindi, di tutto l'esercizio, l'unico errore commesso è quello della quarta SDE? Il resto del metodo può essere definito corretto?

[RenzoDF]

In conclusione sarei curioso di vedere questo risultato finale per la $i_L(t)$.

[Bianchetto05]

"RenzoDF":In conclusione sarei curioso di vedere questo risultato finale per la $i_L(t)$.

Te la scrivo qui poi se vuoi ti mando una foto con il problema di Cauchy annesso

$i_L (t)=-1,92 e^(-1078,57 t) + 1,92 e^(-39453,34 t) +0,5$ $A$

i parametri $k_1$ e $k_2$ del problema di Cauchy sono venuti pari a $k_1=-k_2$ e quindi alla fine $k_1=-1,92$ e $k_2=1,92$

P.s.
In serata posto (con foto) il fratello di questo esercizio (tensione del condensatore) e vediamo se ho capito bene il meccanismo con due generatori

[RenzoDF]

Occhio che abbiamo sbagliato, io per primo: la $i_L(\infty)=0.5+1/80$, non 0.5 ampere.

Mi domando come avevi fatto a trovare quel valore 1.92.

Devi ricalcolare il valore dei due k.

[Bianchetto05]

"RenzoDF":Occhio che abbiamo sbagliato, io per primo: la $i_L(\infty)=0.5+1/80$, non 0.5 ampere.

perchè $i_L(\infty)=0.5+1/80$? Il circuito non è lo stesso che a $t<0$?

[RenzoDF]

No, perchè è acceso anche il GIT da 1 volt e di conseguenza la corrente nel cortocircuito che rappresenta l'induttore è pari alla somma della corrente erogata dal GIC (0.5A) con quella proveniente dal GIT (1/80 A).

[Bianchetto05]

però in questo caso non sarebbe (R2 + R4)//R1? E quindi $1/26.7$$A$?

EDIT
Ho sbagliato a vedere il circuito... ho scambiato $V_C$ con $e(t)$

[Bianchetto05]

dovrebbe essere quindi:

$i_L (t)=-0,53 e^(-1078,57 t) + 0,52 e^(-39453,34 t) +0,51$ $A$

i parametri $K$ del problema di Cauchy sono venuti pari a $k_1=-0,53$ e $k_2=0,52$

[RenzoDF]

Con quale sistema hai determinato i due k?

[Bianchetto05]

con questo:

${ ( i_L (0^+)=k_1+k_2+i_{Lp} ),( i_L^{\prime}(0^+)=\lambda_1k_1+\lambda_2k_2 ):}$

dove:

$i_L (0^+)=0.5$ dalle condizioni iniziali
$ i_L^{\prime}(0^+)=-19980$ dalla sostituzione dei parametri a $0^+$ nella $i_L ^{\prime}$ trovata nell'analisi del circuito
$i_{Lp}=0,51$ dalla correzione fatta poco fa

[RenzoDF]

"Bianchetto05":...
${ ( i_L (0^+)=k_1+k_2+i_{Lp} ),( i_L^{\prime}(0^+)=\lambda_1k_1+\lambda_2k_2 ):}$
...

Ok

"Bianchetto05":...
$i_L (0^+)=0.5$ dalle condizioni iniziali
...

Ok

"Bianchetto05":...
$ i_L^{\prime}(0^+)=-19980$ dalla sostituzione dei parametri a $0^+$ nella $i_L ^{\prime}$ trovata nell'analisi del circuito
...

Non capisco come.

"Bianchetto05":...
$i_{Lp}=0,51$ dalla correzione fatta poco fa

La correzione porta a 0.5125, non a 0.51.

[RenzoDF]

$i_L^{\prime} (0^+) = (v_C(0)) /L - (40\ i_L (0))/L +20/L $

[Bianchetto05]

se non ho sbagliato altri calcoli dovrebbe essere:

$i_L (t)=-0,01028 e^(-1078,57 t) + 0,00028 e^(-39453,34 t) +0,5125$ $A$

[RenzoDF]

Già meglio, ma per t=0 i tuoi coefficienti non portano ancora a \(i_L(0)=0{,}5\ \text{A}\)

Direi che la soluzione sia

\(i_L (t)\approx -0{,}012851\ e^{-1078{,}57\ t} + 0{,}000351 e^{-39453{,}34\ t} +0{,}5125\ \text{A}\)

[Bianchetto05]

Tutto ok ho rifatto il sistema e mi torna tutto!

Appena correggo l'altro esercizio lo posto, grazie ancora.