[Elettrotecnica] Circuito dinamico
Salve, ho da poco iniziato lo studio dell'elettrotecnica e, siccome ho ancora molte incertezze, volevo sottoporvi questo esercizio con lo svolgimento che ho fatto io per sapere se e dove ho sbagliato. Si tratta di calcolare la potenza istantanea $p(t)$, generata dal condensatore per $t>0$. Questo è il circuito con tutti i dati del problema:
Innanzitutto ho trovato le equazioni tramite le leggi di Kirchoff
$i_2 = i_L -i_C = i_L-C*dv/dt$
$E-R_1*i_L-L*di_L/dt -v_C=0$
$v_C=R_"*i_2$
quindi sostituendo $v_C=R_2*i_L-R_2*C*dv_C/dt$
Riordinando ho le equazioni che cercavo
${(C*dv_c/dt=-1/R_"*v_C+i_L),(L*di_L/dt=-v_C-R_1*i_L+E):}$ Definisco le matrici D e H, $D=[[0.002,0],[0,0.025]]$ $H=[[1/R_2,1],[-1,R_1]]=[[0.05,1],[-1,10]]$ L'equazione differenziale omogenea sarà nella forma $ddot x+2\alpha*dot x+\omega^2*x= 0$ dove $2\alpha=h_11/d_1+h_22/d_2$ e $\omega^2=(h_11*h_22-h_12*h_21)/(d_1*d_2)$ (questo è un metodo che ho negli appunti del prof)
$2\alpha=0.05/0.002+10/0.025=425$ $\omega^2=(0.05*10+1)/(0.002*0.025)=30000$
Innanzitutto voglio la $v_C(t)= v_Co + v_Cp$ cioè integrale generale dell'omogenea associata + integrale particolare.
Il primo lo ricavo da $\lambda^2+425\lambda+30000=0$ ; $\lambda_12=(-425+-sqrt(60625))/2=(-425+-246.22)/2$ Ho dunque $\lambda_1=-89,39$ e $\lambda_2=-335,61$
Radici reali e distinte quindi: $v_C= v_Co + v_Cp= k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t) + v_Cp$
Ora devo calcolare $v_Cp$ allora considero il circuito per t>>0 e ho che l'induttanza diventa corto circuito e il condensatore circuito aperto quindi il mio circuito sarà così:
e la $v_Cp=R_2/(R_1+R_2)*E=2$ volt applicando il partitore di tensione. Ho quindi che
$v_C(t)= k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t)+2$
Ora per trovare le condizioni iniziali devo imporre le condizioni iniziali $v_c(0)$ e $dot v_c(0)$.
$dot v_c(0)$ lo calcolo dalle equazioni che ho trovato all'inizio e quindi $dot v_C(0)=-1/(R_2*C)*v_C(0)+1/C*i_L(0)= -25*4,5 + 500*3= 1387,5$
Ho adeso un sistema di 2 equazioni in due incognite
${([k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t)+2]_(t=0)=4.5),([-89,39*k_1*e^(-89,39t)-335,61*k_2*e^(-335,61t)]_(t=0)=1387.5):}$
Con le dovute sostituzioni trovo che $k_1= 9.04$ e $k_2=-6.54$
Quindi $v_c(t) = 9.04*e^(-89,39t)-6.54*e^(-335,61t)+2$
Siccome devo trovare la potenza sul condensatore mi serve $i_C(t)=C*(dv_C(t))/dt$
Calcolo la derivate di $v_C(t)$
$(dv_C(t))/dt=-808.1*e^(-89,39t)+2194.9*e^(-335,61t)$ quindi
$i_C(t)=C*(dv_C(t))/dt=-1.62*e^(-89,39t)+4.39*e^(-335,61t)$
Ora avendo $v_C(t)$ e $i_C(t)$ posso calcolare la
$p(t)=v_C(t)*i_C(t)=(9.04*e^(-89,39t)-6.54*e^(-335,61t)+2)*(-1.62*e^(-89,39t)+4.39*e^(-335,61t))$
facendo i calcoli(spero correttamente) ho che
$p(t)=50.27*e^(-425t)-3.24*e^(-89,39t)-14.64*e^(-178,78t)-28,7*e^(-671,22t)+8.78*e^(-335,6t)$ che è la potenza assorbita dato che sul condensatore ho fatto la convenzione dell'utilizzatore, siccome voglio quella erogata devo cambiare i segni alla potenza$p(t)=-50.27*e^(-425t)+3.24*e^(-89,39t)+14.64*e^(-178,78t)+28,7*e^(-671,22t)-8.78*e^(-335,6t)$
Il procedimento è corretto? Ho sbagliato qualcosa? Fatemi sapere cosa va e cosa no per piacere, sono le mie prime esercitazioni
. Sperando che questo esercizio e i miei dubbi possano aiutare anche qualcun'altro a risolvere i propri vi ringrazio in anticipo per la risposta 
Innanzitutto ho trovato le equazioni tramite le leggi di Kirchoff
$i_2 = i_L -i_C = i_L-C*dv/dt$
$E-R_1*i_L-L*di_L/dt -v_C=0$
$v_C=R_"*i_2$
quindi sostituendo $v_C=R_2*i_L-R_2*C*dv_C/dt$
Riordinando ho le equazioni che cercavo
${(C*dv_c/dt=-1/R_"*v_C+i_L),(L*di_L/dt=-v_C-R_1*i_L+E):}$ Definisco le matrici D e H, $D=[[0.002,0],[0,0.025]]$ $H=[[1/R_2,1],[-1,R_1]]=[[0.05,1],[-1,10]]$ L'equazione differenziale omogenea sarà nella forma $ddot x+2\alpha*dot x+\omega^2*x= 0$ dove $2\alpha=h_11/d_1+h_22/d_2$ e $\omega^2=(h_11*h_22-h_12*h_21)/(d_1*d_2)$ (questo è un metodo che ho negli appunti del prof)
$2\alpha=0.05/0.002+10/0.025=425$ $\omega^2=(0.05*10+1)/(0.002*0.025)=30000$
Innanzitutto voglio la $v_C(t)= v_Co + v_Cp$ cioè integrale generale dell'omogenea associata + integrale particolare.
Il primo lo ricavo da $\lambda^2+425\lambda+30000=0$ ; $\lambda_12=(-425+-sqrt(60625))/2=(-425+-246.22)/2$ Ho dunque $\lambda_1=-89,39$ e $\lambda_2=-335,61$
Radici reali e distinte quindi: $v_C= v_Co + v_Cp= k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t) + v_Cp$
Ora devo calcolare $v_Cp$ allora considero il circuito per t>>0 e ho che l'induttanza diventa corto circuito e il condensatore circuito aperto quindi il mio circuito sarà così:
e la $v_Cp=R_2/(R_1+R_2)*E=2$ volt applicando il partitore di tensione. Ho quindi che
$v_C(t)= k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t)+2$
Ora per trovare le condizioni iniziali devo imporre le condizioni iniziali $v_c(0)$ e $dot v_c(0)$.
$dot v_c(0)$ lo calcolo dalle equazioni che ho trovato all'inizio e quindi $dot v_C(0)=-1/(R_2*C)*v_C(0)+1/C*i_L(0)= -25*4,5 + 500*3= 1387,5$
Ho adeso un sistema di 2 equazioni in due incognite
${([k_1*e^(-89,39t)+k_2*e^(-335,61t)+2]_(t=0)=4.5),([-89,39*k_1*e^(-89,39t)-335,61*k_2*e^(-335,61t)]_(t=0)=1387.5):}$
Con le dovute sostituzioni trovo che $k_1= 9.04$ e $k_2=-6.54$
Quindi $v_c(t) = 9.04*e^(-89,39t)-6.54*e^(-335,61t)+2$
Siccome devo trovare la potenza sul condensatore mi serve $i_C(t)=C*(dv_C(t))/dt$
Calcolo la derivate di $v_C(t)$
$(dv_C(t))/dt=-808.1*e^(-89,39t)+2194.9*e^(-335,61t)$ quindi
$i_C(t)=C*(dv_C(t))/dt=-1.62*e^(-89,39t)+4.39*e^(-335,61t)$
Ora avendo $v_C(t)$ e $i_C(t)$ posso calcolare la
$p(t)=v_C(t)*i_C(t)=(9.04*e^(-89,39t)-6.54*e^(-335,61t)+2)*(-1.62*e^(-89,39t)+4.39*e^(-335,61t))$
facendo i calcoli(spero correttamente) ho che
$p(t)=50.27*e^(-425t)-3.24*e^(-89,39t)-14.64*e^(-178,78t)-28,7*e^(-671,22t)+8.78*e^(-335,6t)$ che è la potenza assorbita dato che sul condensatore ho fatto la convenzione dell'utilizzatore, siccome voglio quella erogata devo cambiare i segni alla potenza$p(t)=-50.27*e^(-425t)+3.24*e^(-89,39t)+14.64*e^(-178,78t)+28,7*e^(-671,22t)-8.78*e^(-335,6t)$
Il procedimento è corretto? Ho sbagliato qualcosa? Fatemi sapere cosa va e cosa no per piacere, sono le mie prime esercitazioni
. Sperando che questo esercizio e i miei dubbi possano aiutare anche qualcun'altro a risolvere i propri vi ringrazio in anticipo per la risposta
Risposte
"DonRaleau":
Il procedimento è corretto?
Non ho controllato i calcoli, ma il procedimento è Corretto e se sei alle prime armi, i miei Complimenti!
... anche per la dettagliata esposizione 
"DonRaleau":
... Ho sbagliato qualcosa?
L'unica cosa errata che riesco a vedere è che manca una "h" a Kirchhoff.
BTW Se trovo il tempo nei prossimi giorni do un occhio ai calcoli.
Contento che ritieni sia corretto (a parte il nome del signor Kirchhoff 
), i miei dubbi erano soprattuto sull'ultima parte e sul calcolo finale della potenza erogata. Comunque si, sto studiando da poco l'esame, poi magari condividerò anche altri esercizi sia in regime stazionario che in regime sinusoidale e devo ancora approfondire il discorso sui doppi bipoli e il trasformatore. Per quanto riguarda la correttezza dei calcoli sarò felice se puoi verificare, io più che altro devo prendere confidenza con il modus operandi per ciascuna categoria di esercizio, e se e quando avrò qualche dubbio lo condividerò anche sul forum sperando, nel caso, di chiarirlo. Comunque grazie per la disponibilità
), i miei dubbi erano soprattuto sull'ultima parte e sul calcolo finale della potenza erogata. Comunque si, sto studiando da poco l'esame, poi magari condividerò anche altri esercizi sia in regime stazionario che in regime sinusoidale e devo ancora approfondire il discorso sui doppi bipoli e il trasformatore. Per quanto riguarda la correttezza dei calcoli sarò felice se puoi verificare, io più che altro devo prendere confidenza con il modus operandi per ciascuna categoria di esercizio, e se e quando avrò qualche dubbio lo condividerò anche sul forum sperando, nel caso, di chiarirlo. Comunque grazie per la disponibilità
Ho controllato proprio ora, facendomi aiutare da wxMaxima, ecco il risultato ottenuto a partire dal sistema delle due equazioni differenziali iniziali
che conferma anche i tuoi calcoli.
che conferma anche i tuoi calcoli.
Wow! Grazie! ...alla prossima 
Per chi fosse interessato, ricordo solo che wxMaxima, GUI di Maxima, discendente dal leggendario Macsyma, un CAS sviluppato dal MIT negli anni '60, "madre" di tutti i Computer Algebra System anche commerciali oggi presenti sul mercato, è completamente FREE ... e disponibile su
http://andrejv.github.io/wxmaxima/
In rete si possono trovare numerosissimi tutorial, per esempio
http://www.neng.usu.edu/cee/faculty/gurro/Maxima.html
o videotutorial, per esempio la serie di video di Javier Arántegui
http://vimeo.com/channels/maximajaj/3363564
... e disponibile suhttp://andrejv.github.io/wxmaxima/
In rete si possono trovare numerosissimi tutorial, per esempio
http://www.neng.usu.edu/cee/faculty/gurro/Maxima.html
o videotutorial, per esempio la serie di video di Javier Arántegui
http://vimeo.com/channels/maximajaj/3363564
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo