[Elettrotecnica] Calcolo dell'energia assorbita da un trasformatore ideale
Nell'ambito del trasformatore ideale, la dimostrazione della relazione \(\displaystyle M^2 = L_{1}L_{2} \) (dove \(\displaystyle M \) è il coefficiente di mutua induzione e $L_{1}$ ed $L_{2}$ quelli di autoinduzione) avviene considerando il calcolo dell'energia infinitesima assorbita dal doppio bipolo, che vale
\(\displaystyle dU = L_{1}i_{1}di_{1} + L_{2}i_{2}di_{2} + M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1}). \)
che integrando ambo i membri, dai miei appunti risulta essere uguale a
\(\displaystyle U(t) = \frac{1}{2}L_{1}i_{1}^2 + Mi_{1}i_{2} + \frac{1}{2}L_{2}i_{2}^2.\)
Tuttavia, esplicitando il calcolo dell'integrazione, noto una piccola incongruenza con il risultato, in particolare con il termine di mezzo \(\displaystyle Mi_{1}i_{2} \).
Difatti:
\(\displaystyle U(t) = \int{L_{1}i_{1}di_{1}} + \int{L_{2}i_{2}di_{2}} + \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})}. \)
I primi due integrali restituiscono correttamente i due termini al quadrato di \(\displaystyle U(t) \), il problema è il terzo integrale che risolto darebbe:
\(\displaystyle \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})} = M(\int{i_{1}di_{2}}+\int{i_{2}di_{1}}) = Mi_{1}i_{2} + Mi_{2}i_{1} = 2Mi_{1}i_{2}. \)
Il problema è quel 2 davanti che non dovrebbe esserci; infatti, continuando la dimostrazione, arrivo poi a provare che \(\displaystyle 4M^2 = L_{1}L_{2} \), che è ben diverso dal risultato originale. Dove sbaglio? Grazie.
\(\displaystyle dU = L_{1}i_{1}di_{1} + L_{2}i_{2}di_{2} + M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1}). \)
che integrando ambo i membri, dai miei appunti risulta essere uguale a
\(\displaystyle U(t) = \frac{1}{2}L_{1}i_{1}^2 + Mi_{1}i_{2} + \frac{1}{2}L_{2}i_{2}^2.\)
Tuttavia, esplicitando il calcolo dell'integrazione, noto una piccola incongruenza con il risultato, in particolare con il termine di mezzo \(\displaystyle Mi_{1}i_{2} \).
Difatti:
\(\displaystyle U(t) = \int{L_{1}i_{1}di_{1}} + \int{L_{2}i_{2}di_{2}} + \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})}. \)
I primi due integrali restituiscono correttamente i due termini al quadrato di \(\displaystyle U(t) \), il problema è il terzo integrale che risolto darebbe:
\(\displaystyle \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})} = M(\int{i_{1}di_{2}}+\int{i_{2}di_{1}}) = Mi_{1}i_{2} + Mi_{2}i_{1} = 2Mi_{1}i_{2}. \)
Il problema è quel 2 davanti che non dovrebbe esserci; infatti, continuando la dimostrazione, arrivo poi a provare che \(\displaystyle 4M^2 = L_{1}L_{2} \), che è ben diverso dal risultato originale. Dove sbaglio? Grazie.
Risposte
Premesso che (come già ti ricordavo in un tuo precedente thread) stai ancora confondendo il "mutuo induttore ideale ad accoppiamento perfetto" con il "trasformatore ideale" (che sono due doppi bipoli non equivalenti), direi che sbagli nel non considerare che integrando, non puoi ritenere i1 e i2 contemporaneamente, ma solo separatamente costanti, nel qual caso uno dei due ultimi integrali risulterebbe nullo. Oppure puoi ricordare che
\(i_1\mathrm{d}i_2+i_2\mathrm{d}i_1=\mathrm{d} (i_1i_2) \)
\(i_1\mathrm{d}i_2+i_2\mathrm{d}i_1=\mathrm{d} (i_1i_2) \)
"RenzoDF":
stai ancora confondendo il "mutuo induttore ideale ad accoppiamento perfetto" con il "trasformatore ideale"
Confermi che l'unica differenza tra i due bipoli riguarda il fatto che il primo, a differenza del secondo, tiene conto anche del fattore di mutua induttanza?
"RenzoDF":
integrando, non puoi ritenere i1 e i2 contemporaneamente costanti
Perché?
"CosenTheta":
... Confermi che l'unica differenza tra i due bipoli riguarda il fatto che il primo, a differenza del secondo, tiene conto anche del fattore di mutua induttanza?
No, confermo il fatto che un mutuo induttore ideale perfetto equivale ad un trasformatore ideale + un induttore in parallelo ad uno dei due ingressi, ovvero al seguente circuito
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 1.5
FJC A 0.35
FJC B 0.25
LI 100 35 100 45 0
LI 100 55 100 60 0
LI 100 65 100 60 0
BE 100 45 92 45 92 55 100 55 0
BE 90 45 98 45 98 55 90 55 0
MC 52 32 0 0 074
MC 114 32 2 0 074
SA 87 38 0
SA 103 38 0
TY 114 37 3 2 0 0 0 Tahoma +
LI 90 55 90 65 0
LI 90 45 90 35 0
LI 90 35 50 35 0
LI 100 35 115 35 0
LI 100 65 115 65 0
LI 90 65 50 65 0
TY 52 24 4 3 0 0 0 * i1
TY 110 25 4 3 0 0 0 * i2
TY 48 47 4 3 0 0 0 * v1
TY 111 47 4 3 0 0 0 * v2
TY 49 37 3 2 0 0 0 Tahoma +
TY 94 28 4 3 0 0 0 * n
MC 70 40 1 0 ihram.indutt
LI 70 35 70 40 0
LI 70 60 70 65 0
TY 74 47 4 3 0 0 0 * L1[/fcd]
"CosenTheta":
... Perché?
Semplicemente perché, se disegni il piano delle due variabili di stato $i_1,i_2$, non sarai in grado di disegnare nessun percorso che partendo dall'origine O, porti al generico punto P di coordinate $i_1,i_2$, mantenendo costanti entrambe; puoi solo (per esempio) mantenere nulla $i_1$ e variabile la $i_2$, per poi tenere costante quest'ultima e variabile la prima (oppure viceversa), ed è chiaro che l'energia finale U, accumulata dal mutuo induttore, che è funzione delle sole variabili di stato, sarà sempre la stessa, qualunque sia il percorso che porta da O a P.
Perché l'energia assorbita deve essere necessariamente una funzione di stato?
"CosenTheta":
Perché l'energia assorbita deve essere necessariamente una funzione di stato?
Perché se calcoli l'energia assorbita in un intervallo \(\displaystyle t_{0},t_{1} \) ti accorgerai che essa dipende solo dal valore delle correnti (che sono le variabili di stato) in tali intervalli
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