[Elettrotecnica] Calcolo della potenza complessa di un GDC con impedenza incognita
Si consideri l'esercizio di figura:
Per poter calcolare la potenze richieste dall'esercizio si può moltiplicare, per definizione di potenza complessa, il fasore coniugato associato alla corrente del generatore \(\displaystyle j(t) \) con il fasore associato alla tensione ai suoi capi, ossia alla differenza di potenziale tra i nodi A e C. Prendendo proprio per incognite i potenziali di due dei nodi della rete (perchè si pone il restante pari a 0, scegliendo ad esempio \(\displaystyle V_{A} \), in cui confluiscono più nodi ) posso sfruttare il metodo dei potenziali nodali, scrivendo le LKC a due dei nodi della rete e quindi esplicitando le varie tensioni in funzione dei potenziali, come prevede tale metodo. Il problema principale è che in questo circuito \(\displaystyle Z_{u} \) è incognita; l'unico dato fornito su di essa è che la sua potenza attiva è massima, dunque questo equivale a dire che
\(\displaystyle P_{Z_{u}} = VI \cos(\phi) = VI \) per \(\displaystyle \phi = 0 \), ossia \(\displaystyle Z_{u} \) si riduce a essere semplicemente pari a \(\displaystyle R_{u} \).
A questo punto, ritornando al nostro sistema di LKC, abbiamo solamente 2 equazioni in 3 incognite, ossia \(\displaystyle V_{B} \), \(\displaystyle V_{C} \) e appunto \(\displaystyle R_{u} \); allora ho pensato che una terza relazione da accodare alle LKC, per risolvere il sistema, potrebbe essere il teorema di conservazione delle potenze elettriche. Tuttavia, il difetto di questa soluzione è che esce fuori un sistema dalla risoluzione non troppo semplice.
La mia domanda è: esiste un metodo più rapido per il calcolo della \(\displaystyle R_{u} \), e quindi per la risoluzione dell'esercizio? Grazie.
Per poter calcolare la potenze richieste dall'esercizio si può moltiplicare, per definizione di potenza complessa, il fasore coniugato associato alla corrente del generatore \(\displaystyle j(t) \) con il fasore associato alla tensione ai suoi capi, ossia alla differenza di potenziale tra i nodi A e C. Prendendo proprio per incognite i potenziali di due dei nodi della rete (perchè si pone il restante pari a 0, scegliendo ad esempio \(\displaystyle V_{A} \), in cui confluiscono più nodi ) posso sfruttare il metodo dei potenziali nodali, scrivendo le LKC a due dei nodi della rete e quindi esplicitando le varie tensioni in funzione dei potenziali, come prevede tale metodo. Il problema principale è che in questo circuito \(\displaystyle Z_{u} \) è incognita; l'unico dato fornito su di essa è che la sua potenza attiva è massima, dunque questo equivale a dire che
\(\displaystyle P_{Z_{u}} = VI \cos(\phi) = VI \) per \(\displaystyle \phi = 0 \), ossia \(\displaystyle Z_{u} \) si riduce a essere semplicemente pari a \(\displaystyle R_{u} \).
A questo punto, ritornando al nostro sistema di LKC, abbiamo solamente 2 equazioni in 3 incognite, ossia \(\displaystyle V_{B} \), \(\displaystyle V_{C} \) e appunto \(\displaystyle R_{u} \); allora ho pensato che una terza relazione da accodare alle LKC, per risolvere il sistema, potrebbe essere il teorema di conservazione delle potenze elettriche. Tuttavia, il difetto di questa soluzione è che esce fuori un sistema dalla risoluzione non troppo semplice.
La mia domanda è: esiste un metodo più rapido per il calcolo della \(\displaystyle R_{u} \), e quindi per la risoluzione dell'esercizio? Grazie.
Risposte
"CosenTheta":
... l'unico dato fornito su di essa è che la sua potenza attiva è massima, dunque questo equivale a dire che ... \(\displaystyle Z_{u} \) si riduce a essere semplicemente pari a \(\displaystyle R_{u} \).
No, non è quella la condizione per il massimo trasferimento di potenza sull'impedenza.
"RenzoDF":
No, non è quella la condizione per il massimo trasferimento di potenza sull'impedenza.
Ok, allora per come mi hai risposto capisco che dovrei considerare il teorema di massimo trasferimento di potenza, che afferma che quell'impedenza ha massimo valore di potenza quando essa ha lo stesso valore dell'impedenza del generatore, ma qual è l'impedenza del generatore?
Quella che si ottiene aprendo il generatore di corrente, cortocircuitando quello di tensione e staccando \(\displaystyle Zu \)?
Così facendo otterrei 5, che è \(\displaystyle R \), perché il condensatore e l'induttore in serie sono in risonanza. Corretto?
"CosenTheta":
... capisco che dovrei considerare il teorema di massimo trasferimento di potenza, che afferma che quell'impedenza ha massimo valore di potenza quando essa ha lo stesso valore dell'impedenza del generatore,...
Non esattamente;
"CosenTheta":
... ma qual è l'impedenza del generatore? Quella che si ottiene aprendo il generatore di corrente, cortocircuitando quello di tensione e staccando \(\displaystyle Zu \)?
Semplicemente l'impedenza del circuito equivalente secondo Thevenin $Z_{Th}$, della rete "vista" da $Z_U$.
"CosenTheta":
... Così facendo otterrei 5, che è \(\displaystyle R \), perché il condensatore e l'induttore in serie sono in risonanza. Corretto?
No, non risultano in serie;
Chiarissimo, grazie.
Di nulla.
Anche in questo caso aspettiamo la tua soluzione.
Anche in questo caso aspettiamo la tua soluzione.
"RenzoDF":
Anche in questo caso aspettiamo la tua soluzione.
Adoperando il teorema del massimo trasferimento di potenza in regime sinusoidale, dobbiamo imporre che l'impedenza \(\displaystyle \dot{Z_{u}} \) deve essere pari al coniugato dell'impedenza di Thevenin vista ai capi della stessa; quindi l'impedenza da calcolare è quella del circuito in figura:
Dunque:
\(\displaystyle \dot{Z_{u}} = (\frac{jX_{L}(R-jX_{c})}{X_{L} + R - jX_{c}})^* = 5 - 5j \).
Individuata \(\displaystyle \dot{Z_{u}} \), riprendendo il circuito iniziale dell'esercizio, posso applicare il metodo dei potenziali nodali per individuare i potenziali che individuano i capi del generatore di corrente: ponendo per esempio \(\displaystyle \bar{V_{C}} = \bar{0} \), scrivo il seguente sistema ai nodi B e A adottando la convenzione seguente:
1) \(\displaystyle (\bar{V_{A}}-\bar{V_{B}})(\frac{1}{5j} + \frac{1}{5-5j}) = \frac{\bar{V_{B}}}{-5j} \)
2) \(\displaystyle \frac{\bar{V_{B}}}{-5j} = \bar{J} + \frac{\bar{E} - \bar{V_{A}}}{5} \)
dove \(\displaystyle \bar{J} = -20 \) e \(\displaystyle \bar{E} = 100 - 100j \) rappresentano i valori complessi associati ai rispettivi generatori mediante la convenzione ai valori efficaci.
Svolto il sistema, il risultato che si ottiene è:
\(\displaystyle \bar{V_{A}} = -50j \)
\(\displaystyle \bar{V_{B}} = -50 \)
Ad ogni modo, per ottenere ciò che l'esercizio richiede basta effettuare il calcolo:
\(\displaystyle \dot{P} = \bar{V_{J}} \bar{J}^* = (-50j - 0) \bar{J}^* = -50j(-20) = 1000j \).
Essendo la potenza attiva e reattiva rispettivamente parte reale e parte immaginaria della potenza complessa, risulta che:
\(\displaystyle P = 0 W \)
\(\displaystyle Q = 1000 VAr \).
Grazie per la risposta; sei fra i pochi che completano un thread.
Ok per il procedimento, ma mi sembra di vedere due errori (di distrazione); vediamo se li trovi.
BTW Se determinavi l'impedenza equivalente a destra dei nodi A C, avresti avuto una sola equazione ai nodi.
Ok per il procedimento, ma mi sembra di vedere due errori (di distrazione); vediamo se li trovi.
BTW Se determinavi l'impedenza equivalente a destra dei nodi A C, avresti avuto una sola equazione ai nodi.
"RenzoDF":
due errori
Uno è nel calcolo dell'impedenza \(\displaystyle \dot{Z_{u}} \), al denominatore ho mancato \(\displaystyle j \) davanti a \(\displaystyle X_{L} \), ma non riesco a trovare l'altro: ho provato a ricontrollare anche i calcoli e mi ritrovo sempre gli stessi.
"RenzoDF":
Se determinavi l'impedenza equivalente a destra dei nodi A C, avresti avuto una sola equazione ai nodi.
Ti ringrazio per il consiglio, adoro imparare metodi più veloci per risolvere un esercizio. Con questo approccio avrei avuto il circuito seguente:
dove \(\displaystyle \dot{Z_{eq}} = \frac{\dot{Z_{u}}(jX_{L})}{\dot{Z_{u}} + jX_{L}} - jX_{c} = 5. \)
A questo punto, ponendo \(\displaystyle \bar{V_{c}} = \bar{V_{b}} = \bar{0} \), scrivo la LKC al nodo A nell'incognita \(\displaystyle \bar{V_{a}} \):
\(\displaystyle \frac{100 - 100j - \bar{V_{a}}}{5} - 20 = \frac{\bar{V_{a}}}{5} \)
ossia \(\displaystyle \bar{V_{a}} = -50j \).
Dunque:
\(\displaystyle \dot{P} = -50j(-20) = 1000j \).
"CosenTheta":
... Uno è nel calcolo dell'impedenza \(\displaystyle \dot{Z_{u}} \), al denominatore ho mancato \(\displaystyle j \) davanti a \(\displaystyle X_{L} \),...
Quello è solo un errore di battitura e non lo avevo messo in conto, visto che il risultato è corretto.
Gli errori sono nella trasformazione di uno dei generatori dal dominio del tempo al dominio fasoriale e nel calcolo dalla potenza complessa (rileggi bene il testo).
"CosenTheta":
... adoro imparare metodi più veloci per risolvere un esercizio.
E allora ti consiglio di imparare ad usare Millman, che non è altro che una forma sintetica del metodo dei potenziali nodali, nel caso particolare di una rete binodale.
BTW Perché non impari ad usare FidoCadJ per gli schemi?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=121249
"RenzoDF":
Gli errori sono nella trasformazione di uno dei generatori dal dominio del tempo al dominio fasoriale...
Ho trasformato i due generatori in questo modo, sempre considerando la conv. ai valori efficaci:
\(\displaystyle j(t) = 20 \sqrt{2} \sin(\omega t - \pi) \rightarrow \bar{J} = 20 e^{-j \pi} = 20(\cos(-\pi) + j \sin(-\pi)) = -20. \)
\(\displaystyle e(t) = 200 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4}) = \frac{200}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \cos(\omega t - \frac{\pi}{4}) \rightarrow \bar{E} = \frac{200}{\sqrt{2}} e^{-j \frac{\pi}{4}} = \frac{200}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{-\pi}{4}) + j \sin(\frac{-\pi}{4})) = \frac{200}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} -j \frac{\sqrt{2}}{2}) = 100 - 100j\)
Non sono sicuro, ma sospetto che il problema sia nella trasformazione del generatore di tensione, non trattandosi di una funzione seno forse dovrei trasformare il coseno, usando per esempio la relazione:
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\)
Quindi \(\displaystyle e(t) = \frac{200}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \cos(\omega t - \frac{\pi}{4}) = \frac{200}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \frac{200}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}).\)
Ottenendo \(\displaystyle \bar{E} = \frac{200}{\sqrt{2}} e^{j \frac{\pi}{4}} = 100 + 100j.\)
"RenzoDF":
...e nel calcolo dalla potenza complessa.
Quindi, per la modifica al generatore di tensione, ottengo \(\displaystyle \bar{V_{a}} = 50j \) e la potenza complessa \(\displaystyle \dot{P} = -1000j.\)
"RenzoDF":
Perché non impari ad usare FidoCadJ per gli schemi?
Al prossimo schema non mancherò.
"CosenTheta":
... sospetto che il problema sia nella trasformazione del generatore di tensione, non trattandosi di una funzione seno forse dovrei trasformare il coseno, ...
Puoi trasformare sia il generatore di tensione sia quello di corrente, ma devi farlo, per rendere comuni la funzione base (sinusoidale o cosinusoidale), dipende da quale sei abituato ad usare per i fasori.
Ultimamente si usa spesso quella cosinusoidale, mentre ai miei tempi si usava quella sinusoidale; cambiano i fasori, ma i valori efficaci e le potenze non cambiano.
Prova ad usare entrambe le strade e ne avrai conferma.
"CosenTheta":
... Quindi, per la modifica al generatore di tensione, ottengo ...
Non è un errore legato al precedente.
"RenzoDF":
...quale potenza ti viene richiesta?
La potenza richiesta è quella assorbita: sapendo che potenza assorbita e potenza erogata sono uguali ma di segno opposto, dovrei concludere che \(\displaystyle -1000j \) è quella erogata e \(\displaystyle 1000j \) è quella assorbita?
Grazie mille.
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