[Elettrotecnica] Aiuto sui Circuiti RLC
CIao a tutti, mi sono imbattuto in questa tipologia di esercizi studiando per l'esame di Introduzione ai Circuiti, trovando qualche difficoltà. Spero nell'aiuto di qualcuno di voi perchè non so proprio come uscirne!
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito fare una foto al libro (da come ho letto non credo sia contro il regolamento, nel caso lo fosse mi scuso in anticipo).
Per arrivare alla soluzione ho pensato di procedere nel seguente modo.
considero prima il caso per $ t < 0 $ :
- poichè siamo in regime stazionario possiamo sostituire l'induttore con un corto cirucuito e il condensatore con un circuito aperto;
- a questo punto possiamo anche non considerare più la resistenza in parallelo al corto circuito (quella a destra);
- infine ci ritroviamo con un circuito costituito solo dal generatore di tensione e dalla resistenza R (quella a sinistra).
$ i_L(t) = (e(t))/R = -1/10 = -0.1 A $
$ V_R(t) = V_C(t) = -E = 1 V $
Ora considero il caso per $ t > 0 $ :
Innanzitutto, essendoci un generatore di tensione attivo, il circuito è in evoluzione forzata dunque la soluzione sarà del tipo $ i_L(t) = i_0(t) + i_p(t) $ dove $ i_0(t) $ è la soluzione generale dell'equazione differenziale del 2' ordine associata al circuito mentre $ i_p(t) $ è la soluzione particolare dovuta al forzamento.
Calcolo la corrente di regime per $ t -> + ∞ $
$ i_p(t) = (e(t))/R = 1/10 = 0.1 V $
Ora calcolo $ i_0(t) $ considerando il circuito con il generatore spento e la resistenza equivalente $R_(eq) = R/2 = 5 Omega $
$ lambda ^" + 1/(R_(eq)C)lambda + 1/(LC) = 0 $
Questa è l'equazione caratteristica associata al quella differenziale del circuito.
$ lambda ^" + 2000 lambda + 2cdot10^6 = 0 $
$ lambda_(1,2) = -sigma +- omega_d ~= - 1000 +- j1000 $
Otteniamo dunque la soluzione: $ i_L(t) = e^(-sigmat)( Acos(omega_d t) + Bsin(omega_d t ) ) + i_p(t)$
$ i_L(t) = e^(-10^3t)( Acos(10^3t) + Bsin(10^3t) ) + 0.1$
A questo punto cominciano i problemi xd.
Per trovare i coefficienti A e B devo utlizzare la corrente e la tensione dell'induttore allo stato iniziale, cioè
$ i_L(0) = -0.1 A $
e fino a qui ci sono, però poi c'è
$ (di_L(0))/(dt) = (V_L(0))/L $
Con la precedente scritta voglio intendere la derivata di $i_L(t)$ rispetto a t calcolata poi in 0 (non so se si capisce).
Il problema è che non so come ricavarmi la tensione dell'induttore all'istante iniziale t = 0 (probabilmente mi sfugge qualcosa di ovvio nel circuito).
Non trovando questo risultato non posso andare avanti, in quanto il prossimo passaggio sarebbe impostare il seguente sistema:
$ { ( i_L(0) = Acos0 + Bsin0 + 0.1 ),( (di_L(0))/dt = d/dt(e^(-sigmat)( Acos(omega_d t) + Bsin(omega_d t ) ) + i_p) ):} $
$ { ( -0.1 = A + 0.1 ),( (V_L(0))/L = -1000A + 1000B ):} $
$ { ( A = -0.2 ),( 200V_L(0) = -200 + 1000B ):} $
Quindi sono bloccato a questo punto e vorrei sapere se ho sbagliato qualcosa nel metodo o magari ho sbagliato i calcoli...
Spero possiato darmi una mano e vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito fare una foto al libro (da come ho letto non credo sia contro il regolamento, nel caso lo fosse mi scuso in anticipo).
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Per arrivare alla soluzione ho pensato di procedere nel seguente modo.
considero prima il caso per $ t < 0 $ :
- poichè siamo in regime stazionario possiamo sostituire l'induttore con un corto cirucuito e il condensatore con un circuito aperto;
- a questo punto possiamo anche non considerare più la resistenza in parallelo al corto circuito (quella a destra);
- infine ci ritroviamo con un circuito costituito solo dal generatore di tensione e dalla resistenza R (quella a sinistra).
$ i_L(t) = (e(t))/R = -1/10 = -0.1 A $
$ V_R(t) = V_C(t) = -E = 1 V $
Ora considero il caso per $ t > 0 $ :
Innanzitutto, essendoci un generatore di tensione attivo, il circuito è in evoluzione forzata dunque la soluzione sarà del tipo $ i_L(t) = i_0(t) + i_p(t) $ dove $ i_0(t) $ è la soluzione generale dell'equazione differenziale del 2' ordine associata al circuito mentre $ i_p(t) $ è la soluzione particolare dovuta al forzamento.
Calcolo la corrente di regime per $ t -> + ∞ $
$ i_p(t) = (e(t))/R = 1/10 = 0.1 V $
Ora calcolo $ i_0(t) $ considerando il circuito con il generatore spento e la resistenza equivalente $R_(eq) = R/2 = 5 Omega $
$ lambda ^" + 1/(R_(eq)C)lambda + 1/(LC) = 0 $
Questa è l'equazione caratteristica associata al quella differenziale del circuito.
$ lambda ^" + 2000 lambda + 2cdot10^6 = 0 $
$ lambda_(1,2) = -sigma +- omega_d ~= - 1000 +- j1000 $
Otteniamo dunque la soluzione: $ i_L(t) = e^(-sigmat)( Acos(omega_d t) + Bsin(omega_d t ) ) + i_p(t)$
$ i_L(t) = e^(-10^3t)( Acos(10^3t) + Bsin(10^3t) ) + 0.1$
A questo punto cominciano i problemi xd.
Per trovare i coefficienti A e B devo utlizzare la corrente e la tensione dell'induttore allo stato iniziale, cioè
$ i_L(0) = -0.1 A $
e fino a qui ci sono, però poi c'è
$ (di_L(0))/(dt) = (V_L(0))/L $
Con la precedente scritta voglio intendere la derivata di $i_L(t)$ rispetto a t calcolata poi in 0 (non so se si capisce).
Il problema è che non so come ricavarmi la tensione dell'induttore all'istante iniziale t = 0 (probabilmente mi sfugge qualcosa di ovvio nel circuito).
Non trovando questo risultato non posso andare avanti, in quanto il prossimo passaggio sarebbe impostare il seguente sistema:
$ { ( i_L(0) = Acos0 + Bsin0 + 0.1 ),( (di_L(0))/dt = d/dt(e^(-sigmat)( Acos(omega_d t) + Bsin(omega_d t ) ) + i_p) ):} $
$ { ( -0.1 = A + 0.1 ),( (V_L(0))/L = -1000A + 1000B ):} $
$ { ( A = -0.2 ),( 200V_L(0) = -200 + 1000B ):} $
Quindi sono bloccato a questo punto e vorrei sapere se ho sbagliato qualcosa nel metodo o magari ho sbagliato i calcoli...
Spero possiato darmi una mano e vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Risposte
Per determinare $v_L(0^+)$ applica la legge di Kirchhoff alla maglia centrale del circuito
"xemnas":
... probabilmente mi sfugge qualcosa ...
Ti sfugge il fatto che la $v_L(0^+)$ puoi ricavartela sfruttando la continuità della $v_C(t)$.
Infatti RenzoDF, se applica Kirchhoff in quella maglia centrale, arriva proprio a $ v_c(0^+)$
Non dicevo a te, ma a xemnas. 
... non avevo ancora visto la tua risposta.
BTW Ovviamente il risultato del testo è errato.
... non avevo ancora visto la tua risposta.BTW Ovviamente il risultato del testo è errato.
Ok ragazzi. Innanzitutto, grazie dell'aiuto! Voglio vedere se ho capito bene...
Sfruttando la continuità di $ V_C(t) $ ottengo che $ V_C(0^+) = V_C(0^-) = -1 $
Applicando la legge di kirchoff delle tensioni alla maglia centrale ottengo $ V_C(0^+) - e(0^+) + V_R(0^+) = 0 $ da cui
$ V_R(0^+) = e(0^+) - V_C(0^+) = 1 - (-1) = 2 $
Quindi, alla fine $ V_L(0) = V_R(0) = 2 V $ perchè R ed L sono in parallelo.
Credo che sia così, poi non so se ho frainteso....
Sì, ci avevo pensato in quanto la soluzione dovrebbe essere $ i_L(t) = e^(-10^3t)( -0.2cos(10^3t) - 0.2sin(10^3t) ) +0.1 $
Sei d'accordo?
Sfruttando la continuità di $ V_C(t) $ ottengo che $ V_C(0^+) = V_C(0^-) = -1 $
Applicando la legge di kirchoff delle tensioni alla maglia centrale ottengo $ V_C(0^+) - e(0^+) + V_R(0^+) = 0 $ da cui
$ V_R(0^+) = e(0^+) - V_C(0^+) = 1 - (-1) = 2 $
Quindi, alla fine $ V_L(0) = V_R(0) = 2 V $ perchè R ed L sono in parallelo.
Credo che sia così, poi non so se ho frainteso....
"RenzoDF":
BTW Ovviamente il risultato del testo è errato.
Sì, ci avevo pensato in quanto la soluzione dovrebbe essere $ i_L(t) = e^(-10^3t)( -0.2cos(10^3t) - 0.2sin(10^3t) ) +0.1 $
Sei d'accordo?
Non hai frainteso ... e sono d'accordo!. 
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