[Elettronica] RISOLTO - Semplificazione passaggio numeri complessi
Buongiorno,
in una tesi del 1966 (si, 1966
), ad un certo punto c'è una equazione con 3 addendi, del tipo (generico):
questi 3 addendi vengono poi semplificati (senza riportarne i passaggi). Per il 2° e 3° addendo sono riuscito a fare i dovuti procedimenti algebrici ottenendo la semplificazione riportata nel documento.
Per il 1° addendo mi sono "incartato".
Il primo addendo non semplificato - escludendo \(I_M \) che va a moltiplicarlo - è questo:
La versione semplificata riportata (senza passaggi intermedi) è:
Sto provando a fare i passaggi intermedi, ma senza successo, o meglio ad un certo punto mi "incarto".
In sostanza dall'uguaglianza della forma trigonometrica con quella polare:
\(\rho e^{\iota \theta}=\rho cos(\theta)+\iota\rho sin(\theta) \) (per semplificare la scrittura pongo \(\theta=\omega t-\beta \) )
Allora il primo addendo della (1) lo posso riscrivere come:
\(\omega RC cos(\theta)=\omega RC e^{\iota \theta}-\iota \omega RC sin(\theta) \)
che sostituito nella (1) porta a:
\(\omega RC e^{\iota \theta} -\iota \omega RC sin(\theta)+sin(\theta) \)
aggiungo e sottraggo \(\omega RC e^{-\iota \theta} \)
\(\omega RC e^{\iota \theta} -\omega RC e^{-\iota \theta} +\omega RC e^{-\iota \theta} -\iota \omega RC sin(\theta)+sin(\theta) \)
i primi due addendi sono pari a \(\iota 2 \omega RC sin(\theta) \) che sostituito e semplificando porta a:
\( \omega RC e^{-\iota \theta} + \iota \omega RC sin(\theta) + sin (\theta) \)
\( \omega RC e^{-\iota \theta} + sin(\theta) [1+\iota \omega RC] \)
Qui ho il numero complesso che mi darebbe il modulo e la fase riportata nella (2) ma ...mo come procedo?
Se provo a "toccare" l'esponenziale sembro entrare in uno stato "cane che si morde la coda" e non ne esco.
Forse il procedimento che sto adottando è troppo convoluto e la soluzione ce l'ho sotto il muso ma ancora non l'ho vista?
Saluti
in una tesi del 1966 (si, 1966
), ad un certo punto c'è una equazione con 3 addendi, del tipo (generico):\(i(t)=I_M [...] + [...] +[...] \)
questi 3 addendi vengono poi semplificati (senza riportarne i passaggi). Per il 2° e 3° addendo sono riuscito a fare i dovuti procedimenti algebrici ottenendo la semplificazione riportata nel documento.
Per il 1° addendo mi sono "incartato".
Il primo addendo non semplificato - escludendo \(I_M \) che va a moltiplicarlo - è questo:
\([\omega RC cos(\omega t-\beta)+sin(\omega t-\beta)]\) (1)
La versione semplificata riportata (senza passaggi intermedi) è:
\(\sqrt{1+(\omega RC)^2} sin(\omega t-\beta+\phi)\) (2)
Sto provando a fare i passaggi intermedi, ma senza successo, o meglio ad un certo punto mi "incarto".
In sostanza dall'uguaglianza della forma trigonometrica con quella polare:
\(\rho e^{\iota \theta}=\rho cos(\theta)+\iota\rho sin(\theta) \) (per semplificare la scrittura pongo \(\theta=\omega t-\beta \) )
Allora il primo addendo della (1) lo posso riscrivere come:
\(\omega RC cos(\theta)=\omega RC e^{\iota \theta}-\iota \omega RC sin(\theta) \)
che sostituito nella (1) porta a:
\(\omega RC e^{\iota \theta} -\iota \omega RC sin(\theta)+sin(\theta) \)
aggiungo e sottraggo \(\omega RC e^{-\iota \theta} \)
\(\omega RC e^{\iota \theta} -\omega RC e^{-\iota \theta} +\omega RC e^{-\iota \theta} -\iota \omega RC sin(\theta)+sin(\theta) \)
i primi due addendi sono pari a \(\iota 2 \omega RC sin(\theta) \) che sostituito e semplificando porta a:
\( \omega RC e^{-\iota \theta} + \iota \omega RC sin(\theta) + sin (\theta) \)
\( \omega RC e^{-\iota \theta} + sin(\theta) [1+\iota \omega RC] \)
Qui ho il numero complesso che mi darebbe il modulo e la fase riportata nella (2) ma ...mo come procedo?
Se provo a "toccare" l'esponenziale sembro entrare in uno stato "cane che si morde la coda" e non ne esco.
Forse il procedimento che sto adottando è troppo convoluto e la soluzione ce l'ho sotto il muso ma ancora non l'ho vista?
Saluti
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