Dubbio trasformata di laplace

[vitos1]

Gentili utenti del forum ho un dubbio.

Non capisco perchè

$L[u(t)cos\omegat]=L[cos\omegat]$

dove L e l'operatore trasformata e u(t) è la funzione a gradino con discontinuità nel punto 0
(Ho trovato questa relazione scritta sul mio libro di controlli automatici).

Infatti per la definizione di trasformata di Laplace $F(s)=L[f(t)]=\int_{0^-}^{+\infty} f(t)e^(st) dt$.

Quindi se $f(0^-)=0$ e $f(0^+)=1$ e l'integrale è definito da $0^-$ a +$oo$ come fa a verificarsi questa relazione: $L[u(t)cos\omegat]=L[cos\omegat]$
?

grazie delle risposte

[elgiovo]

Non ti creare troppi problemi. La trasformata unilatera prende in considerazione solo ciò che accade nel semiasse positivo. Quella definizione con $0^-$ serve solo a fugare dubbi nel caso in cui ci sia "massa puntuale" nell'origine, ad esempio una delta di Dirac (che faccio, la integro o non la integro?). Inoltre il tuo esempio non è calzante, infatti ai fini dell'integrale non ti interessa il valore della funzione in 0, ha un peso nullo e tra l'altro dipende da come definisci il gradino (a volte si dice che vale 1/2 nel "salto").

[vitos1]

Grazie mille della risposta molto esauriente.
Buona serata