Dubbio sull'uso della trasf di fourier per seg. periodici
Leggendo una frase sul Salehi, sono stato assalito da un dubbio atroce, che mi ha lasciato molte perplessità.
La frase è questa " Fourier series is applied to periodic signals whereas the Fourier transform can be applied to periodic and nonperiodic signals". Allora sono andato a rivedermi le condizioni di Dirichlet per l'applicabilità della trasformata di Fourier e ho visto che la prima di queste richiede che il segnale sia assolutamente integrabile su tutto l'asse reale. Quindi i segnali periodici non dovrebbero ammettere la trasformata di Fourier, ma solo la serie, infatti è chiaro che se integro il loro modulo da -inf a +inf non viene un numero reale ma infinito.
Poi un'altra cosa: segnale periodico e segnale di potenza sono due concetti equivalenti? Cioè, per intenderci, esistono segnali a potenza finita che non sono periodici o il viceversa? E invece i segnali a energia finita corrispondono sempre ai segnali aperiodici?
Riuscireste a sciogliermi questi dubbi?
Ciao
La frase è questa " Fourier series is applied to periodic signals whereas the Fourier transform can be applied to periodic and nonperiodic signals". Allora sono andato a rivedermi le condizioni di Dirichlet per l'applicabilità della trasformata di Fourier e ho visto che la prima di queste richiede che il segnale sia assolutamente integrabile su tutto l'asse reale. Quindi i segnali periodici non dovrebbero ammettere la trasformata di Fourier, ma solo la serie, infatti è chiaro che se integro il loro modulo da -inf a +inf non viene un numero reale ma infinito.
Poi un'altra cosa: segnale periodico e segnale di potenza sono due concetti equivalenti? Cioè, per intenderci, esistono segnali a potenza finita che non sono periodici o il viceversa? E invece i segnali a energia finita corrispondono sempre ai segnali aperiodici?
Riuscireste a sciogliermi questi dubbi?
Ciao
Risposte
Per il primo dubbio: in senso "generalizzato" si puo' applicare la trasformata di fourier anche a un segnale periodico.
Se lo sviluppassi in serie di fourier, otterresti il ben noto "spettro a righe". Con la trasformata, ottieni un treno di impulsi delta (alle stesse frequenze in cui si collocano le "righe".
Per avere una spiegazione molto sommaria, prova a guardare qui: http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/h ... ode26.html
Per il secondo dubbio: mi viene ad dire che un segnale a energia finita non puo' essere periodico.
Inoltre, un esempio di segnale a potenza finita ma non periodico e' il gradino unitario. O un qualsiasi segnale costante su tutto l'asse temporale.
Quindi no, segnale periodico e a potenza finita non sono affatto concetti equivalenti
Se lo sviluppassi in serie di fourier, otterresti il ben noto "spettro a righe". Con la trasformata, ottieni un treno di impulsi delta (alle stesse frequenze in cui si collocano le "righe".
Per avere una spiegazione molto sommaria, prova a guardare qui: http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/h ... ode26.html
Per il secondo dubbio: mi viene ad dire che un segnale a energia finita non puo' essere periodico.
Inoltre, un esempio di segnale a potenza finita ma non periodico e' il gradino unitario. O un qualsiasi segnale costante su tutto l'asse temporale.
Quindi no, segnale periodico e a potenza finita non sono affatto concetti equivalenti
Dalla definizione di trasformata di Fourier
http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro/node19.html
mi risulta che per i segnali periodici quell'integrale non è determinato.
Si potrebbe ad esempio definire una funzione pari ad una funzione periodica in un intervallo e nulla all'esterno di tale intervallo, quindi l'integrale darebbe un risultato, che dipenderebbe dalla frequenza e forma del segnale periodico e dall'intervallo scelto, oltre che dalla variabile f.
Anche se l'intervallo scelto fosse uguale al periodo della funzione periodica non riesco a ricavare che la trasformata di Fourier sia un treno di impulsi moltiplicato per una funzione.
http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro/node19.html
mi risulta che per i segnali periodici quell'integrale non è determinato.
Si potrebbe ad esempio definire una funzione pari ad una funzione periodica in un intervallo e nulla all'esterno di tale intervallo, quindi l'integrale darebbe un risultato, che dipenderebbe dalla frequenza e forma del segnale periodico e dall'intervallo scelto, oltre che dalla variabile f.
Anche se l'intervallo scelto fosse uguale al periodo della funzione periodica non riesco a ricavare che la trasformata di Fourier sia un treno di impulsi moltiplicato per una funzione.
Per dare un senso preciso alla trasformata di un segnale periodico (che, tipicamente, non è una funzione [tex]$L^1$[/tex]) bisogna scomodare la teoria delle distribuzioni.
Se non lo si fa, si può incorrere in dubbi del genere.
Se non lo si fa, si può incorrere in dubbi del genere.
Cosa vuol dire fare la trasf. / antitrasf. di Fourier di una distribuzione? Avere una distribuzione e la sua trasformata che agiscono sulla funzione argomento in qualche maniera compatibile con le operazioni definite sull'insieme "funzioni che ammettono trasf. di Fourier" e quelle definite sull'immagine del primo sotto la trasformazione trasf. di Fourier? Tipo distribuzione(funzione_con_proprietà_simpatiche) è in corrispondenza biunivoca con trasformata della distribuzione(trasformata_della_distribuzione_con_proprietà_simpatiche). In questo caso l'effetto della distribuzione indotta dal $sin$ (cioè integrale contro il $sin$) è in corrispondenza con l'effetto dell'applicazione lineare rappresentata da $delta$ nel "dominio trasformato"?
@Lorra: Non ho capito nulla... Ma tento lo stesso di risponderti.
La trasformata di Fourier distribuzionale è definitita nella classe delle distribuzioni temperate [tex]$\mathcal{S}^\prime$[/tex] che è abbastanza grossa (contiene, ad esempio, tutti gli [tex]$L^p$[/tex]; in particolare [tex]$L^\infty$[/tex], classe che contiene le funzioni periodiche limitate tipo [tex]$\sin x$[/tex] le quali, in generale, non sono globalmente [tex]$L^1$[/tex]).
Tale classe è definita come il duale dello spazio di Schwartz [tex]$\mathcal{S}$[/tex], il quale contiene tutti gli elementi di [tex]$C_0^\infty$[/tex] che tendono a zero rapidamente all'infinito*; visto che [tex]$\mathcal{S} \supset C_c^\infty =\mathcal{D}$[/tex] per dualità è evidente che [tex]$\mathcal{S}^\prime \subset \mathcal{D}^\prime$[/tex], sicché lo spazio delle distribuzioni temperate [tex]$\mathcal{S}^\prime$[/tex] è strettamente più piccolo di quello di tutte le distribuzioni [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex].
Visto che ogni elemento di [tex]$\mathcal{S}$[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex]**, è evidente che si può calcolare la trasformata di Fourier classica di [tex]$u$[/tex], i.e. [tex]$\mathfrak{F} $[/tex]; inoltre si riesce a provare che [tex]$u\in \mathcal{S} \ \Rightarrow\ \mathfrak{F} \in \mathcal{S}$[/tex].
Allora si può applicare il trucco (che è classico della Teoria delle Distribuzioni, ed è la sua raison d'etre) di definire qualcosa per una distribuzione a partire dalla stesso oggetto definito sui test***: nel nostro caso, fissata [tex]$F\in \mathcal{S}^\prime$[/tex] si chiama per definizione trasformata di Fourier distribuzionale di [tex]$F$[/tex] la distribuzione [tex]$\mathfrak{F}[F]$[/tex] che opera su [tex]$\mathcal{S}$[/tex] come segue:
[tex]$u\mapsto \langle F,\mathfrak{F} \rangle$[/tex],
ove al secondo membro la t.d.F. è quella classica di [tex]$u$[/tex].
La precedente relazione si scrive più semplicemente:
[tex]$\langle \mathfrak{F}[F] ,u\rangle =\langle F,\mathfrak{F} \rangle$[/tex] per ogni [tex]$u\in \mathcal{S}$[/tex].
__________
* Qualitativamente [tex]$u\in C_0^\infty$[/tex] è in [tex]$\mathcal{S}$[/tex] solo se [tex]$u$[/tex] e tutte le sue derivate vanno a zero per [tex]$|x|\to +\infty$[/tex] più velocemente del reciproco di ogni polinomio.
** Infatti, per definizione, [tex]$|u|$[/tex] va a zero in [tex]$\infty$[/tex] più velocemente di [tex]$\tfrac{1}{1+x^2}$[/tex] ergo esiste una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che [tex]$\lVert u\rVert_1=\int |u| \leq \int \tfrac{C}{1+x^2} <+\infty$[/tex]
*** Vedi, ad esempio, la definizione di derivata distribuzionale.
La trasformata di Fourier distribuzionale è definitita nella classe delle distribuzioni temperate [tex]$\mathcal{S}^\prime$[/tex] che è abbastanza grossa (contiene, ad esempio, tutti gli [tex]$L^p$[/tex]; in particolare [tex]$L^\infty$[/tex], classe che contiene le funzioni periodiche limitate tipo [tex]$\sin x$[/tex] le quali, in generale, non sono globalmente [tex]$L^1$[/tex]).
Tale classe è definita come il duale dello spazio di Schwartz [tex]$\mathcal{S}$[/tex], il quale contiene tutti gli elementi di [tex]$C_0^\infty$[/tex] che tendono a zero rapidamente all'infinito*; visto che [tex]$\mathcal{S} \supset C_c^\infty =\mathcal{D}$[/tex] per dualità è evidente che [tex]$\mathcal{S}^\prime \subset \mathcal{D}^\prime$[/tex], sicché lo spazio delle distribuzioni temperate [tex]$\mathcal{S}^\prime$[/tex] è strettamente più piccolo di quello di tutte le distribuzioni [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex].
Visto che ogni elemento di [tex]$\mathcal{S}$[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex]**, è evidente che si può calcolare la trasformata di Fourier classica di [tex]$u$[/tex], i.e. [tex]$\mathfrak{F} $[/tex]; inoltre si riesce a provare che [tex]$u\in \mathcal{S} \ \Rightarrow\ \mathfrak{F} \in \mathcal{S}$[/tex].
Allora si può applicare il trucco (che è classico della Teoria delle Distribuzioni, ed è la sua raison d'etre) di definire qualcosa per una distribuzione a partire dalla stesso oggetto definito sui test***: nel nostro caso, fissata [tex]$F\in \mathcal{S}^\prime$[/tex] si chiama per definizione trasformata di Fourier distribuzionale di [tex]$F$[/tex] la distribuzione [tex]$\mathfrak{F}[F]$[/tex] che opera su [tex]$\mathcal{S}$[/tex] come segue:
[tex]$u\mapsto \langle F,\mathfrak{F} \rangle$[/tex],
ove al secondo membro la t.d.F. è quella classica di [tex]$u$[/tex].
La precedente relazione si scrive più semplicemente:
[tex]$\langle \mathfrak{F}[F] ,u\rangle =\langle F,\mathfrak{F} \rangle$[/tex] per ogni [tex]$u\in \mathcal{S}$[/tex].
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* Qualitativamente [tex]$u\in C_0^\infty$[/tex] è in [tex]$\mathcal{S}$[/tex] solo se [tex]$u$[/tex] e tutte le sue derivate vanno a zero per [tex]$|x|\to +\infty$[/tex] più velocemente del reciproco di ogni polinomio.
** Infatti, per definizione, [tex]$|u|$[/tex] va a zero in [tex]$\infty$[/tex] più velocemente di [tex]$\tfrac{1}{1+x^2}$[/tex] ergo esiste una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che [tex]$\lVert u\rVert_1=\int |u| \leq \int \tfrac{C}{1+x^2} <+\infty$[/tex]
*** Vedi, ad esempio, la definizione di derivata distribuzionale.
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