Dubbio fase
Ho la seguente funzione di trasferimento\(\displaystyle \frac{10(s-1)}{s(s+1)(s^ 2 +8s+25) } \) vorrei calcolarmi la fase iniziale. Procedo in questo modo, la fase é uguale a\(\displaystyle -arctan (\omega)-arctan (\omega)-arctan (\frac {\frac {8}{25}\omega}{1-\frac {1}{25}\omega ^2})\), per calcolare la fase inziale mi basterá sostituire (\displaystyle \omega =0 \) dai miei calcoli la fase inizale é uguale a 0 quindi, mentre dal risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \frac {-3\pi}{2} \) perché?
Risposte
Prova a vederla in questa forma equivalente
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
... nella quale i (2) fattori importanti sono più evidenti.
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
... nella quale i (2) fattori importanti sono più evidenti.
"claudio_p88":
dai miei calcoli la fase inizale é uguale a 0 quindi, mentre dal risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \frac {-3\pi}{2} \) perché?
Non mi trovo con nessuno dei due valori, sei sicuro del risultato ?
Rifacendo i calcoli la fase iniziale risulta essere \(\displaystyle -\pi /2 \) per via del contributo dato dai poli complessi e coniugati, che comunque si discosta dal risultato, ho pensato che ci potesse essere un nesso tra il fatto che ci sia un polo nell'origine, e quindi la fase debba partire a - 180, e appunto -180-90=-270 =-3/2pi, ma non ne sono sicuro in quanto sono i miei primi approcci al diagramma di nyquist
"claudio_p88":
Rifacendo i calcoli la fase iniziale risulta essere \(\displaystyle -\pi /2 \)
esatto
"claudio_p88":
Rifacendo i calcoli la fase iniziale risulta essere \(\displaystyle -\pi /2 \) per via del contributo dato dai poli complessi e coniugati
No...il contributo è dato dal solo polo nell'origine ( dove tu vuoi calcolare la fase ); quindi era quasi intuitivo che la fase partisse da $-pi/2$
Come dicevo, dalla
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
la fase iniziale è semplicemente dovuta al coefficiente -10/25 e al polo nell'origine e quindi $-pi +(- \pi/2)=-3/2\pi$.
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
la fase iniziale è semplicemente dovuta al coefficiente -10/25 e al polo nell'origine e quindi $-pi +(- \pi/2)=-3/2\pi$.
Quindi mi state dicendo che i poli complessi e coniugati non rientrano nel calcolo, non dovrebbe per essi: \(\displaystyle \frac {\frac {8}{25}\omega }{ 1-\frac {1}{25}\omega^2} = \frac { 1}{3\omega} \) che appunto per \(\displaystyle \ omega \to 0 = \infty \) e appunto \(\displaystyle -arctan (\infty)=- \pi/2 \), inoltre mettiamo caso che il contributo della fase iniziale sia dovuto soltanto al polo nell'origine, non dovrebbe comunque partire da -180 come si fà nel diagramma di bode della fase? Non riesco a capire il contributo \(\displaystyle \frac {-\pi}{2} \) da dove esce se non é per via dei poli complessi?
Ti chiedo scusa, nel fare l'esercizio mi ero dimenticato di un segno $-$, come sempre ha ragione RenzoDF
Quindi diciamo che se non avessi avuto\(\displaystyle -10 /25 \) oppure per essere piú corretti, avessi avuto un numero positivo, non avrei avuto il contributo di \(\displaystyle -\pi \) che appunto c'é solo quando il numero é negativo? Inoltre se cosí dovesse essere mi sapete spiegare teoricamente il perché?
"claudio_p88":
... Non riesco a capire il contributo \(\displaystyle \frac {-\pi}{2} \) da dove esce se non é per via dei poli complessi?
Scusa, ma se ti trovi un polo nell'origine ovvero un fattore $1/s$ che diventa $1/(j\omega)$, quale argomento dovrai considerare.
Molti anni fa mi insegnavano che portando una $j$ da denominatore a numeratore bastava cambiarne il segno, non è più vero?
"claudio_p88":
Quindi diciamo che se non avessi avuto\(\displaystyle -10 /25 \) oppure per essere piú corretti, avessi avuto un numero positivo, non avrei avuto il contributo di \(\displaystyle -\pi \) che appunto c'é solo quando il numero é negativo?
Proprio così!
"claudio_p88":
Inoltre se cosí dovesse essere mi sapete spiegare teoricamente il perché?
Questa domanda non l'ho capita.
Allora ho \(\displaystyle arctan (-\frac {10}{25jw} )=-arctan(\frac{10}{25jw})=+arctan (\frac {10j}{25w})\) il suo contributo non dovrebbe essere allora \(\displaystyle +\pi /2 \), cortesemente mi potresti fare un esempio oppure svolgere esplicitamente i calcoli perché non riesco a capire, il contributo di \(\displaystyle -\pi \) invece da quale calcolo esce?
La fdt è $ G(jomega)=(10(jomega-1))/(jomega(1+jomega)(-omega^2+j8omega+25)) $
quindi la tua fase vale:
$ phi_(W(jomega))=arctan(10)+arctan(omega/(-1))-pi/2-arctan(omega)-arctan((8omega)/(25-omega^2)) $
dove il $-pi/2$ rappresenta la fase del termine $1/(jomega)$.
Ora fanne il limite per $omega$ che tende a $0$ ed ottieni la fase iniziale.
Un consiglio: attento al termine $arctan(omega/(-1))$
quindi la tua fase vale:
$ phi_(W(jomega))=arctan(10)+arctan(omega/(-1))-pi/2-arctan(omega)-arctan((8omega)/(25-omega^2)) $
dove il $-pi/2$ rappresenta la fase del termine $1/(jomega)$.
Ora fanne il limite per $omega$ che tende a $0$ ed ottieni la fase iniziale.
Un consiglio: attento al termine $arctan(omega/(-1))$
Piccolo problema, non riesco a capire perché dovrei stare attento al termine \(\displaystyle arctan (w/-1) \) per w che tende a 0 non dovrebbe essere 0 e puó essere riscritto come \(\displaystyle -arctan (w) \)
Scusate ragazzi se mi ripeto per la terza volta, ma non capisco proprio a cosa serva tutto quel discorso su quella serie di arcotangenti quando, scritta la FDT come
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
se andiamo a considerare il limite per s (ovvero $\omega$) tendente a zero, mi sembra più che evidente che tutti i fattori andranno a tendere ad una fase (argomento) zero , ad eccezione del fattore costante (negativo) e del polo $1/(j\omega)$, sbaglio?
L'unità di ogni fattore, per s tendente a zero, diverrà dominante.
$-\frac{10}{25}\frac{1-s}{s(1+s)(1+\frac{8}{25}s+\frac{1}{25}s^2)}$
se andiamo a considerare il limite per s (ovvero $\omega$) tendente a zero, mi sembra più che evidente che tutti i fattori andranno a tendere ad una fase (argomento) zero , ad eccezione del fattore costante (negativo) e del polo $1/(j\omega)$, sbaglio?
L'unità di ogni fattore, per s tendente a zero, diverrà dominante.
Renzo hai ragione non serve, ma visto che ha delle difficoltà a calcolare la fase di un numero complesso ( vedi quanto ha scritto per $arctan(omega/(-1))$ ), ho pensato che fosse meglio fargli tutti i passaggi
"claudio_p88":
Piccolo problema, non riesco a capire perché dovrei stare attento al termine \(\displaystyle arctan (w/-1) \) per w che tende a 0 non dovrebbe essere 0 e puó essere riscritto come \(\displaystyle -arctan (w) \)
Supponiamo di avere un numero complesso del tipo $z=-1+jomega$ quanto vale la sua fase se $omega$ tende a $0$?
Esattamente, ha fatto benissimo a scrivermi i passaggi, ed ancora non capisco perché venga \(\displaystyle -3/2 \pi \) ho un contributo di \(\displaystyle -\pi/2 \) per il polo in 0 e i complessi coniugati per un totale di \(\displaystyle -\pi \) inoltre non riesco a capire la tua raccomandazione, é giusto quello che ho scritto prima? Inoltre la fase con polo in 0 non dovrebbe partire da - 180 e quindi il polo non dovrebbe dare un contributo di \(\displaystyle -\pi \), ho le idee molto confuse non potreste scrivermi i passaggi con i vari contributi in maniera tale che capisca
"D4lF4zZI0":
La fdt è $ G(jomega)=(10(jomega-1))/(jomega(1+jomega)(-omega^2+j8omega+25)) $
quindi la tua fase vale:
$ phi_(W(jomega))=arctan(10)+arctan(omega/(-1))-pi/2-arctan(omega)-arctan((8omega)/(25-omega^2)) $
dove il $-pi/2$ rappresenta la fase del termine $1/(jomega)$.
Ora fanne il limite per $omega$ che tende a $0$ ed ottieni la fase iniziale.
Un consiglio: attento al termine $arctan(omega/(-1))$
Direi che qui c'è tutto
Dovrebbe essere arcotangente parte immaginaria su parte reale quindi quello che ho scritto prima, se non é cos é così puoi chiarirmi le idee?
Se hai un numero complesso del tipo $z=-1+jomega$ quando $omega$ tende a $0$, allora il numero complesso diventa $z=-1+j0$ e giace sull'asse reale negativo, quindi la sua fase vale...?
\(\displaystyle -\pi \)mi sfuggiva il particolare che se a denominatore ho un numero negativo devo aggiungere \(\displaystyle \pi \)
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