Dubbio Continuità in una buca di potenziale

[navras]

Ciao a tutti, sto preparando un esame di fisica dello stato solido e sto avendo problemi a capire una cosa che il mio professore spiega nella sua dispensa. Lui prende in esame una buca di potenziale che per valori di \(\displaystyle x < -a \) e \(\displaystyle x > a \) \(\displaystyle U = U_0 \) e per \(\displaystyle -a \(\displaystyle U=0 \).

Trova le 3 autofunzioni e imponendo la condizione di continuità ne viene fuori un sistema da 4 equazioni e 4 incognite. Poi tramite questo sistema cerca di trovare le variabili arbitrarie. Ora la domanda, perché impone il determinante uguale a zero per risolverlo dicendo "(il sistema) che avrà soluzioni non banali solo se..." e impone il determinante a \(\displaystyle 0 \)?

Non mi linciate se non stato troppo poco chiaro con la domanda

[elgiovo]

Casomai è il contrario: il sistema ammette soluzioni non banali se il determinante è diverso da 0. Qui però non c'entra la fisica dello stato solido, è una questione di algebra lineare.

[navras]

Bene, ora so che non è un particolare poco spiegato del problema di fisica, ma deriva dal fatto che non credo di aver capito cosa sia una e a cosa possa servire trovare una soluzione non banale di questo sistema

[cyd1]

si piu chiaro,
comunque probabilmente è perchè per risolvere il sistema dovrai invertire una matrice, se questa non è invertibile (det=0) allora l'unica soluzione è quella banale

[navras]

Si scusa, cerco di spiegarmi meglio. Nella dispensa dice che avrà soluzioni non banali solo se il determinante è uguale a 0. Dal determinante ricava gli autovalori e poi dopo 2 autofunzioni per i 2 casi:

1°- \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle y \) qualsiasi
2°- \(\displaystyle y=0 \) e \(\displaystyle x \) qualsiasi

[cyd1]

posta il sistema

[navras]

\(\displaystyle -x sin(k_0a)+ycos(k_0a)=0 \)
\(\displaystyle x sin(k_0a)+ycos(k_0a)=0 \)

Scusa, non so come mettere la graffa per il sistema, queste sono le due equazioni

[cyd1]

beh il sistema lo puoi scrivere come
$A ((x),(y)) = ((0),(0))$
con $A =( (- s i n (k_0 a) , cos(k_0 a) ), ( sin(k_0 a) , cos(k_0 a) ) )$

la butto li, si detA!=0 A puoi invertirla e avresti
$((x),(y)) = ((0),(0))$

quindi se esistono soluzioni non banali si deve avere detA!=0

[navras]

quindi con \(\displaystyle det A \neq 0 \) la soluzione è non banale? Nella dispensa dice avro soluzioni non banali se il \(\displaystyle det A = 0 \)

[peppe.carbone.90]

navras, ti invito a rileggere quanto scritto su da elgiovo, il quale mi pare abbia già risposto al tuo dubbio.

Ciao.

[navras]

ok grazie mille per la risposta.