Domande automatica... ricerca teoria
Ciao a tuttti ragazzi... siccome sul mio libro di fondamenti di automatica non vengono trattati bene questi argomenti volevo chiedervi se avevate appunti decenti presi da altri siti o da qualsiasi altra parte riguardo a come disegnare:
1) Le traiettorie libere delle variabili di stato di un sistema (del secondo ordine) con tutti i vari casi (autovalori reali distinti positivi, complessi coniugati ecc...)
2) I diagrammi polari-Nyquist e soprattutto capire le proprietà del sistema guardando solo quelli come valore a cui tende la risposta allo scalino, valore da cui parte, ecc...
Scusate se scrivo un post del genere ma cercando sul web non ho trovato nulla di soddisfacentemente completo e chiaro!!!
Spero magari voi abbiate qualcosa!!!
Grazie mille!!!
1) Le traiettorie libere delle variabili di stato di un sistema (del secondo ordine) con tutti i vari casi (autovalori reali distinti positivi, complessi coniugati ecc...)
2) I diagrammi polari-Nyquist e soprattutto capire le proprietà del sistema guardando solo quelli come valore a cui tende la risposta allo scalino, valore da cui parte, ecc...
Scusate se scrivo un post del genere ma cercando sul web non ho trovato nulla di soddisfacentemente completo e chiaro!!!
Spero magari voi abbiate qualcosa!!!
Grazie mille!!!
Risposte
il primo punto si riconduce a conoscere 4 o 5 modi, alla fine una risposta o l'evoluzione dello stato è una combinazione lineare di questi. lo saprai come evolve un'esponenziale nel tempo no?
per i diagrammi polari non c'è moltissimo materiale, ma qualcosa anche in inglese tro cercando su google.
per i diagrammi polari non c'è moltissimo materiale, ma qualcosa anche in inglese tro cercando su google.
certo che lo so come evolve un esponenziale nel tempo ma se ad esempio siamo in ambito complesso? ad esempio quando hai autovalori complessi coniugati con parte reale positiva/negativa/nulla?
Non dirmi che devo applicare Eulero che lo so che alla fine si arriva ad un andamento sinusoidale ma non so come rappresentare il tutto graficamente!!!
Altra domanda lampo: se ho una matrice della dinamica non diagonale, il movimento è sempre la combinazione lineare dei modi giusto? E i coefficienti di questa combinazione lineare sono gli stati iniziali di ogni singolo stato giusto? Cioè se i modi sono ad esempio:
$e^(-5t), e^(-t)$ e le condizioni iniziali sono $x_1(0) = 3, x_2(0) = -1$ allora il movimento libero è: $x_l=3e^(-5t)-e^(-t)$
O sbaglio qualcosa?
Grazie!
Non dirmi che devo applicare Eulero che lo so che alla fine si arriva ad un andamento sinusoidale ma non so come rappresentare il tutto graficamente!!!
Altra domanda lampo: se ho una matrice della dinamica non diagonale, il movimento è sempre la combinazione lineare dei modi giusto? E i coefficienti di questa combinazione lineare sono gli stati iniziali di ogni singolo stato giusto? Cioè se i modi sono ad esempio:
$e^(-5t), e^(-t)$ e le condizioni iniziali sono $x_1(0) = 3, x_2(0) = -1$ allora il movimento libero è: $x_l=3e^(-5t)-e^(-t)$
O sbaglio qualcosa?
Grazie!
beh se siamo nel caso complesso verrà fuori un comportamento oscillatorio, in particolare convergente (cioè una sinusoide smorzata) divergente o con ampiezza costante a seconda che la parte reale del rispettivo autovalore sia negativa, nulla o positiva, poi nel caso di poli doppi ci saranno modi un pelo piu complicati ma sempre quelli sono.
graficamente nel dominio del tempo è una sinusoide (smorzata) nulla di complesso, nel dominio della frequenza fai il diagramma di bode e sei a posto.
se consideri solo il moto libero allora quello vale per una matrice dinamica diagonale. se hai una matrica A non diagonale
o la diagonalizzi, creando cosi una rappresentazione equivalente dello stesso sistema (l'uscita sarà la stessa! cio che cambia è la rappresentazione interna cioè dello stato che dai del sistema) oppure te la tieni cosi e in questo caso continua ad essere una combinazione lineare dei modi, ma non piu semplice come nel caso diagonale bensi mista, cioè
dat A $A= ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) )$ e $x(0) = (x_(01), x_(02))$
allora nel caso generale hai
$( (x_1(t)),(x_2(t)) ) = ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) ) * ((x_(01)), (x_(02)))$
cioè ${ ( x_1(t) = a_(11)* x_(01) + a_(12)* x_(02)),( x_2(t) = a_(21)* x_(01) + a_(22)* x_(02) ):}$
infatti nel caso diagonale a_12=a_21 = 0 e ti riconduci al caso di prima.
graficamente nel dominio del tempo è una sinusoide (smorzata) nulla di complesso, nel dominio della frequenza fai il diagramma di bode e sei a posto.
se consideri solo il moto libero allora quello vale per una matrice dinamica diagonale. se hai una matrica A non diagonale
o la diagonalizzi, creando cosi una rappresentazione equivalente dello stesso sistema (l'uscita sarà la stessa! cio che cambia è la rappresentazione interna cioè dello stato che dai del sistema) oppure te la tieni cosi e in questo caso continua ad essere una combinazione lineare dei modi, ma non piu semplice come nel caso diagonale bensi mista, cioè
dat A $A= ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) )$ e $x(0) = (x_(01), x_(02))$
allora nel caso generale hai
$( (x_1(t)),(x_2(t)) ) = ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) ) * ((x_(01)), (x_(02)))$
cioè ${ ( x_1(t) = a_(11)* x_(01) + a_(12)* x_(02)),( x_2(t) = a_(21)* x_(01) + a_(22)* x_(02) ):}$
infatti nel caso diagonale a_12=a_21 = 0 e ti riconduci al caso di prima.
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