Domanda sulla diagonale della matrice d'inerzia per sistemi rigidi.

[epimar1]

Ciao a tutti,

sto preparando l'esame di meccanica razionale e, più precisamente, sto trattando la matrice d'inerzia per sistemi rigidi.
La domanda è perchè il terzo numero sulla diagonale è somma degli altri due:

$I_{11} + I_{22} = I_{33}$

Grazie.

[RenzoDF]

Per Pitagora.

[epimar1]

$I_{11}=\int\rho(P)(y^2+z^2)dV$
$I_{22}=\int\rho(P)(x^2+z^2)dV$
$I_{33}=\int\rho(P)(x^2+y^2)dV$

$y^2+z^2=x^2, x^2+z^2=y^2, x^2+y^2=z^2 => x^2+y^2=z^2$

Non credo tu intenda applicare pitagora in questo modo, come quindi?

[Sk_Anonymous]

"epimar1":Ciao a tutti,

sto preparando l'esame di meccanica razionale e, più precisamente, sto trattando la matrice d'inerzia per sistemi rigidi.
La domanda è perchè il terzo numero sulla diagonale è somma degli altri due:

$I_{11} + I_{22} = I_{33}$

Grazie.

Questo vale per distribuzioni piane di masse. L'asse $3$ è quello perpendicolare al piano $xy$ che contiene le masse, ed è un asse principale di inerzia.

[epimar1]

"navigatore":[quote="epimar1"]Ciao a tutti,

sto preparando l'esame di meccanica razionale e, più precisamente, sto trattando la matrice d'inerzia per sistemi rigidi.
La domanda è perchè il terzo numero sulla diagonale è somma degli altri due:

$I_{11} + I_{22} = I_{33}$

Grazie.

Questo vale per distribuzioni piane di masse. L'asse $3$ è quello perpendicolare al piano $xy$ che contiene le masse, ed è un asse principale di inerzia.[/quote]

Quindi per corpi di dim=3 non vale più questa relazione? Una dimostrazione matematica invece come si può ottenere nel caso di dim=2?

[epimar1]

Risolto, grazie.

[RenzoDF]

"epimar1":Risolto, grazie.

Possiamo sapere come?

[epimar1]

Ho ridotto il caso ha dim=2 quindi z=0; dunque:

$I_{11}=\int\rho(y^2+z^2)dS = \int\rhoy^2dS$
$I_{22}=\int\rho(x^2+z^2)dS = \int\rhoy^2dS$
$I_{33}=\int\rho(x^2+y^2)dS = \int\rho(x^2+y^2)dS = I_{11}+I_{22}$

Mi mancava l'ipotesi fondamentale di figura piana prima.

[RenzoDF]

Pitagora.