Dimostrazione del teorema di bernoulli
ciao a tutti, vorrei chiedere alcune cose in merito alla dimostrazione di questo teorema.
il professo non usa testi, tanto per cambiare, e cercando nel web la dimostrazione non ci azzecca niente, ossia, sul web si parte dalla definizione del trimonio, per due sezioni della condotta fino a dimostrare che ciò è costante.
il professore invece parte dalla seconda legge della dinamica, aggiungendo qualche ipotesi, ossia:
-sforzi del tensore assimilabili a quello di dello sforzo di un liquido in quiete, quindi gli sforzi tangenziali nulli
risulta: $ int_(V) (r(D(bar v)/(Dt)) dV = int_(V) r bar(g) - nabla p dV $ con r= densità
l'equazione indefinita dlla dinamica risulta : $ r(Dbar v)/(Dt) = r bar(g) - nabla p $
sviluppa il primo membro in questo modo:
$ r(D(bar v)/(Dt)) = r (del bar v )/del t - r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 $
ma questo passaggio non lo capisco; qualcuno sa come ci si arriva?
poi, considera il campo di moto stazionario, così la variazione temporale si annulla:
$ -r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 = r bar(g) - nabla p $
$ -r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 = -rg nabla z - nabla p $
$ -r bar v xx rot bar v = - nabla( rgz + p + r (v^2)/2 ) $
$ -r bar v xx rot bar v = - nabla( z + p/(rg) + (v^2)/(2g) ) $
e giunge a definire il trinomio di bernuolii.
dopodiche fa due considerazioni, a me poco chiare, e chiedo a qualcuno se mi può spiegare il perché di tale passaggi
1- $ bar v = nabla φ $ e quindi $rot ( bar v) =0 $ . io negli appunti ho scritto che ciò equivale a dire che il campo ammette potenziale, è giusto?
da cui, per passaggio logico il gradiente del trinomio di bernoulli è =0 e quindi il trinomio si conserva nello spazio
2- $ bar v != nabla φ $ e che quindi bar v non ammette potenziale. poi :
$ bar v nabla (z +p/(rg) + (v^2)/(2g)) = 0 $ e cio mi dice che il carico totale si conserva lungo una qualsiasi traiettoria nello spazio.
quello che chiedo: quate due condizioni valgono insieme oppure valgono distintamente??
grazie in anticipo
il professo non usa testi, tanto per cambiare, e cercando nel web la dimostrazione non ci azzecca niente, ossia, sul web si parte dalla definizione del trimonio, per due sezioni della condotta fino a dimostrare che ciò è costante.
il professore invece parte dalla seconda legge della dinamica, aggiungendo qualche ipotesi, ossia:
-sforzi del tensore assimilabili a quello di dello sforzo di un liquido in quiete, quindi gli sforzi tangenziali nulli
risulta: $ int_(V) (r(D(bar v)/(Dt)) dV = int_(V) r bar(g) - nabla p dV $ con r= densità
l'equazione indefinita dlla dinamica risulta : $ r(Dbar v)/(Dt) = r bar(g) - nabla p $
sviluppa il primo membro in questo modo:
$ r(D(bar v)/(Dt)) = r (del bar v )/del t - r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 $
ma questo passaggio non lo capisco; qualcuno sa come ci si arriva?
poi, considera il campo di moto stazionario, così la variazione temporale si annulla:
$ -r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 = r bar(g) - nabla p $
$ -r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 = -rg nabla z - nabla p $
$ -r bar v xx rot bar v = - nabla( rgz + p + r (v^2)/2 ) $
$ -r bar v xx rot bar v = - nabla( z + p/(rg) + (v^2)/(2g) ) $
e giunge a definire il trinomio di bernuolii.
dopodiche fa due considerazioni, a me poco chiare, e chiedo a qualcuno se mi può spiegare il perché di tale passaggi
1- $ bar v = nabla φ $ e quindi $rot ( bar v) =0 $ . io negli appunti ho scritto che ciò equivale a dire che il campo ammette potenziale, è giusto?
da cui, per passaggio logico il gradiente del trinomio di bernoulli è =0 e quindi il trinomio si conserva nello spazio
2- $ bar v != nabla φ $ e che quindi bar v non ammette potenziale. poi :
$ bar v nabla (z +p/(rg) + (v^2)/(2g)) = 0 $ e cio mi dice che il carico totale si conserva lungo una qualsiasi traiettoria nello spazio.
quello che chiedo: quate due condizioni valgono insieme oppure valgono distintamente??
grazie in anticipo
Risposte
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"enzo_87":
$ r(D(bar v)/(Dt)) = r (del bar v )/del t - r bar v xx rot bar v + r (nabla v^2)/2 $
ma questo passaggio non lo capisco; qualcuno sa come ci si arriva?
Derivata materiale nella forma di Lagrange. Cerca in rete.
"enzo_87":
1- $ bar v = nabla φ $ e quindi $rot ( bar v) =0 $ . io negli appunti ho scritto che ciò equivale a dire che il campo ammette potenziale, è giusto?
da cui, per passaggio logico il gradiente del trinomio di bernoulli è =0 e quindi il trinomio si conserva nello spazio
Giusto e si conserva nello spazio
"enzo_87":
2- $ bar v != nabla φ $ e che quindi bar v non ammette potenziale. poi :
$ bar v nabla (z +p/(rg) + (v^2)/(2g)) = 0 $ e cio mi dice che il carico totale si conserva lungo una qualsiasi traiettoria nello spazio.
quello che chiedo: quate due condizioni valgono insieme oppure valgono distintamente??
grazie in anticipo
Non è molto chiaro..che vuoi dire?
saluti
Da quel che ho capito come hai scritto tu il principio di Bernoulli dice che l'energia totale si conserva lungo una traiettoria (per un fluido perfetto incomprimibile), se hai il rotore del moto del campo fluido uguale a 0 (rot v=0) l'energia si mantiene costante in tutte le traiettorie. Ti consiglio di verificare il tutto secondo la trattazione euleriana che è molto più facile e più "visibile" matematicamente parlando.
Comunque sono due equazioni collegate nel senso che se hai un moto irrazionale il principio di Bernoulli lo puoi applicare a qualsiasi traiettoria, mentre se non hai irrotazionalità ad ogni linea di corrente hai un valore di energia differente.
Comunque sono due equazioni collegate nel senso che se hai un moto irrazionale il principio di Bernoulli lo puoi applicare a qualsiasi traiettoria, mentre se non hai irrotazionalità ad ogni linea di corrente hai un valore di energia differente.
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