Differenza tra una funzione ed un funzionale
Salve a tutti,
non so se questa sia la sezione giusta per questo topic, ma spero di si
Mi chiedevo se qualcuno di voi mi può illuminare sulla differenza tra una funzione ed un funzionale ( nel mio caso il funzionale sarebbe la Delta di Dirac).
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi
Ciao !
non so se questa sia la sezione giusta per questo topic, ma spero di si
Mi chiedevo se qualcuno di voi mi può illuminare sulla differenza tra una funzione ed un funzionale ( nel mio caso il funzionale sarebbe la Delta di Dirac).
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi
Ciao !
Risposte
Un funzionale è una legge o corrispondenza fra funzioni e numeri (io di solito interpetro il funzionale come funzione di funzioni). Una funzione è una legge o corrispondenza fra numeri e numeri. In pratica la differenza fra funzione e funzionale consiste nel fatto che le funzioni associano a dei numeri altri numeri, mentre i funzionali associano a funzioni dei numeri.
(vedi su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Funzionale)
(vedi su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Funzionale)
Innanzitutto grazie per la risposta 
Poi, se posso abusare un altra volta della tua pazienza, volevo capire una cosa : quindi la delta di Dirac non è un funzionale ? (E' una distribuzione ? E in tal caso che differenza c'è tra una distribuzione e una funzione ? Voglio dire : perchè la delta è definita come una distribuzione e non come una funzione?)
Grazie
CIao!
Poi, se posso abusare un altra volta della tua pazienza, volevo capire una cosa : quindi la delta di Dirac non è un funzionale ? (E' una distribuzione ? E in tal caso che differenza c'è tra una distribuzione e una funzione ? Voglio dire : perchè la delta è definita come una distribuzione e non come una funzione?)
Grazie
CIao!
Credo che questo argomento sia gia' stato trattato nel forum e forse qualcuno piu' esperto di me nelle ricerche potrebbe indicarti dove.
Come gia' detto il termine funzionale e' di solito utilizzato per indicare una funzione che ha come argomento un'altra funzione e come risultato un numero reale. Per esempio
all'operazione di integrale su un insieme prefissato $E$ corrisponde un funzionale $I$ che a ogni $f$ associa $\int_E f(x) dx$, cioe' $I(f)= \int_E f(x) dx$.
Per inciso credo che una funzione che abbia come argomento delle funzioni e restituisca come risultato una funzione (tipo la derivata) di solito venga datta "operatore".
Questa terminologia ha origini storiche per cui quando si e' cominciato a maneggiare queste cose e' sembrato utile sviluppare una terminologia a parte.
Nel caso della delta di Dirac e' vero che e' un funzionale e non e' una funzione, ma le due cose sono su piani molto diversi.
Dire che $f$ e' una funzione corrisponde a dire che $x\mapsto f(x)$ associa a ogni $x$ reale un numero reale $f(x)$ (eventualmnte si va da $RR^n$ in $RR^m$, ma rimaniamo nel caso piu' elementare). Ora la nozione di funzione e' molto utile ma ad un certo punto non e' sufficiente a certi scopi (come descrivere la densita' di una massa puntiforme). Per questo si generalizza il concetto di funzione (non piu' una corrispondenza $x\mapsto f(x)$). Per fare questo (faccio un riassunto assai schematico della teoria delle distribuzioni) :
1) si interpretano le funzioni come funzionali sulle funzioni test: per ogni funzione $f$ e' definito $I_{f}(\phi):=\int_RR f(x)\phi(x) dx$; questo $I_f$ si calcola sulle funzioni $\phi\in C_c^\infty$ e per ogni $\phi$ restituisce un numero quindi $I_f$ e' un funzionale; inoltre se $I_{f} (\phi)=I_{g} (\phi)$ per ogni $\phi$ allora $f=g$ (da precisare) - quindi ogni funzione $f$ (reale di variabile reale) individua univocamente un funzionale $I_f:C_c^\infty\to RR$
2) si scopre che ci sono dei funzionali $I:C_c^\infty\to RR$ che non sono $I_f$ per nessuna $f$ - per esempio $I(\phi)=\phi(0)$; questi nuovi oggetti si intepretano come "funzioni generalizzate" (per esempio per tali oggetti non e' definito il valore in un punto). La delta di Dirac e' uno di questi e corrisponde proprio al funzionale $I$ scritto sopra.
Non mi dilungo piu' di tanto (se hai domande chiedi pure) e mi scuso coi puristi se ho tralasciato vari dettagli. Concludo osservando che, nei sensi detti sopra, per esempio la funzione $f(x)=x^2$ e' sia una funzione (quella che a ogni $x$ associa il quadrato di $x$) sia un funzionale (quello che a ogni $\phi$ associa $\int_RRx^2\phi(x) dx$). Alla delta invece manca il primo aspetto.
Come gia' detto il termine funzionale e' di solito utilizzato per indicare una funzione che ha come argomento un'altra funzione e come risultato un numero reale. Per esempio
all'operazione di integrale su un insieme prefissato $E$ corrisponde un funzionale $I$ che a ogni $f$ associa $\int_E f(x) dx$, cioe' $I(f)= \int_E f(x) dx$.
Per inciso credo che una funzione che abbia come argomento delle funzioni e restituisca come risultato una funzione (tipo la derivata) di solito venga datta "operatore".
Questa terminologia ha origini storiche per cui quando si e' cominciato a maneggiare queste cose e' sembrato utile sviluppare una terminologia a parte.
Nel caso della delta di Dirac e' vero che e' un funzionale e non e' una funzione, ma le due cose sono su piani molto diversi.
Dire che $f$ e' una funzione corrisponde a dire che $x\mapsto f(x)$ associa a ogni $x$ reale un numero reale $f(x)$ (eventualmnte si va da $RR^n$ in $RR^m$, ma rimaniamo nel caso piu' elementare). Ora la nozione di funzione e' molto utile ma ad un certo punto non e' sufficiente a certi scopi (come descrivere la densita' di una massa puntiforme). Per questo si generalizza il concetto di funzione (non piu' una corrispondenza $x\mapsto f(x)$). Per fare questo (faccio un riassunto assai schematico della teoria delle distribuzioni) :
1) si interpretano le funzioni come funzionali sulle funzioni test: per ogni funzione $f$ e' definito $I_{f}(\phi):=\int_RR f(x)\phi(x) dx$; questo $I_f$ si calcola sulle funzioni $\phi\in C_c^\infty$ e per ogni $\phi$ restituisce un numero quindi $I_f$ e' un funzionale; inoltre se $I_{f} (\phi)=I_{g} (\phi)$ per ogni $\phi$ allora $f=g$ (da precisare) - quindi ogni funzione $f$ (reale di variabile reale) individua univocamente un funzionale $I_f:C_c^\infty\to RR$
2) si scopre che ci sono dei funzionali $I:C_c^\infty\to RR$ che non sono $I_f$ per nessuna $f$ - per esempio $I(\phi)=\phi(0)$; questi nuovi oggetti si intepretano come "funzioni generalizzate" (per esempio per tali oggetti non e' definito il valore in un punto). La delta di Dirac e' uno di questi e corrisponde proprio al funzionale $I$ scritto sopra.
Non mi dilungo piu' di tanto (se hai domande chiedi pure) e mi scuso coi puristi se ho tralasciato vari dettagli. Concludo osservando che, nei sensi detti sopra, per esempio la funzione $f(x)=x^2$ e' sia una funzione (quella che a ogni $x$ associa il quadrato di $x$) sia un funzionale (quello che a ogni $\phi$ associa $\int_RRx^2\phi(x) dx$). Alla delta invece manca il primo aspetto.
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