Diagrammi di bode
non mi è chiaro il procedimento per tracciare il grafico di una funzione di trasferimento con bode.
per esempio, devo determinare il diagramma di bode per la funzione:
W(s) = (s+3)/(s+1)
intanto trovo il guadagno: è pari al rapporto tra il membro minore del numeratore e menbro minore del denominatore: sarà quindi K = 3.
noto che c'è uno zero: s = -3
e un polo: s = -1 entrambi reali.
a questo punto applico la formula: a numeratore metterò s/3 + 1
e a denominatore metterò invece s + 1. quindi in definitiva avrò:
3 ((s/3) + 1)/(s + 1)
questa forma è chiamata forma di bode. ovviamente ci sono anche le altre formule nel caso i poli o gli zeri siano complessi coniugati ecc.. ma non è il nostro caso.
a questo punto io ho capito che per disegnare il diagramma del modulo basta sommare i singoli contributi: quindi avrò:
20Log |3| + 20Log|((s/3) + 1)| - 20Log|(s + 1)|
al posto di s va sostituito il termine iw perchè vogliamo la risposta in frequenza. quindi avrò:
20Log |3| + 20Log|((iw/3) + 1)| - 20Log|(iw + 1)| (1)
dove Log sta per logaritmo in base 10.
lo stesso dicasi per il diagramma della fase.
però una volta che ho ottenuto la (1) come faccio per il grafico? è qui che non ho capito.
per esempio, devo determinare il diagramma di bode per la funzione:
W(s) = (s+3)/(s+1)
intanto trovo il guadagno: è pari al rapporto tra il membro minore del numeratore e menbro minore del denominatore: sarà quindi K = 3.
noto che c'è uno zero: s = -3
e un polo: s = -1 entrambi reali.
a questo punto applico la formula: a numeratore metterò s/3 + 1
e a denominatore metterò invece s + 1. quindi in definitiva avrò:
3 ((s/3) + 1)/(s + 1)
questa forma è chiamata forma di bode. ovviamente ci sono anche le altre formule nel caso i poli o gli zeri siano complessi coniugati ecc.. ma non è il nostro caso.
a questo punto io ho capito che per disegnare il diagramma del modulo basta sommare i singoli contributi: quindi avrò:
20Log |3| + 20Log|((s/3) + 1)| - 20Log|(s + 1)|
al posto di s va sostituito il termine iw perchè vogliamo la risposta in frequenza. quindi avrò:
20Log |3| + 20Log|((iw/3) + 1)| - 20Log|(iw + 1)| (1)
dove Log sta per logaritmo in base 10.
lo stesso dicasi per il diagramma della fase.
però una volta che ho ottenuto la (1) come faccio per il grafico? è qui che non ho capito.
Risposte
ora, guarda, per tracciare i diagramma di Bode con carta semilogaritmica è facile :
identifichi i punti di rottuta del grafico ( se hai i termini della forma (s*a+1), sono dati dall'inverso dei coefficienti di s).
ora, sai che ogni binomio di primo grado al numeratore, da un controbuto alla crescenza della funzione di + 20 Db per decade a partire dal proprio punto di rottura (quelli che hai trovato prima relativamente ad ogni termine binomio), e da un contributo nullo (sia alla crescenza, sia al termine noto) prima del punto di rottura.
Ora per i binomi è tutto uguale tranne che il contributo alla crescenza è pari a - 20 Db per decade.
ed il k ti da un certo contributo al termine noto.
Ora, mettendo in ordine crescente i punti di rottura, sa che sono : {1, 3}, prima di 1, calma piatta (la funzione vale identicamente k), tra 1 e tre la funzione decresce di 20 Db per decade, e dopo 3 calma piatta lo stesso (ossia vale identicamente k + di qualto ha fatto in tempo a decrescere tra 1 e 3).
per le fasi devi fare delle considerazioni simili.
da "Ingegnere" ti sconsiglio di stare a combattere con le espressioni logaritmiche.
identifichi i punti di rottuta del grafico ( se hai i termini della forma (s*a+1), sono dati dall'inverso dei coefficienti di s).
ora, sai che ogni binomio di primo grado al numeratore, da un controbuto alla crescenza della funzione di + 20 Db per decade a partire dal proprio punto di rottura (quelli che hai trovato prima relativamente ad ogni termine binomio), e da un contributo nullo (sia alla crescenza, sia al termine noto) prima del punto di rottura.
Ora per i binomi è tutto uguale tranne che il contributo alla crescenza è pari a - 20 Db per decade.
ed il k ti da un certo contributo al termine noto.
Ora, mettendo in ordine crescente i punti di rottura, sa che sono : {1, 3}, prima di 1, calma piatta (la funzione vale identicamente k), tra 1 e tre la funzione decresce di 20 Db per decade, e dopo 3 calma piatta lo stesso (ossia vale identicamente k + di qualto ha fatto in tempo a decrescere tra 1 e 3).
per le fasi devi fare delle considerazioni simili.
da "Ingegnere" ti sconsiglio di stare a combattere con le espressioni logaritmiche.
cioè 20Log|3| viene 9.54 che è una costante. la sistemerò nell'asse delle ordinate. poi i punti di rottura sono 1, 3 ok.
il grafico sale di 20 Db per decade a partire da 1 ok.
non è che il grafico scende di 20Db per decade dopo il 3 perchè è negativo?
il grafico sale di 20 Db per decade a partire da 1 ok.
non è che il grafico scende di 20Db per decade dopo il 3 perchè è negativo?
mica, il grafico, tra 1 e 3 scende, dal momento dopo 1, l'effetto del binomio al numeratore non si manifesta ancora (vale 0 prima di 3), mentre il denominatore da un contributo decrescente ^_^. fino a dopo 3, quando i due contributi si annullano.
Anche se il problema e’ gia risolto, aggiungo qualche commento
inviando anche il diagramma di Bode ricavato con Mathcad.
Come giustamente hai gia’ osservato, la cosa piu’ importante e’
mettere la funzione di trasferimento in forma ‘canonica’,
evidenziando il guadagno ‘statico’ K=3 (per w=0 e corrispondente
a 9,56 dB) e le ‘costanti di tempo’ (qui T1=1 e T2=1/3).
Poi si puo’ procedere col calcolo (come mostrato dal tratto in rosso),
oppure con procedimento approssimato (a tratti blu).
Se sei interessato ad approfondire l’argomento, ti segnalo il sito:
http://nonnog.altervista.org/index.html
dove potrai trovare nella sezione Elettronica Analogica esaurienti
illustrazioni sui diagrammi di Bode delle principali configurazioni
utilizzate nella Regolazione Automatica (vedi in particolare
“caratteristiche degli Op-Amp reazionati”).
Per eventuali ulteriori spiegazioni, contattami pure direttamente.
G.Schgör
inviando anche il diagramma di Bode ricavato con Mathcad.
Come giustamente hai gia’ osservato, la cosa piu’ importante e’
mettere la funzione di trasferimento in forma ‘canonica’,
evidenziando il guadagno ‘statico’ K=3 (per w=0 e corrispondente
a 9,56 dB) e le ‘costanti di tempo’ (qui T1=1 e T2=1/3).
Poi si puo’ procedere col calcolo (come mostrato dal tratto in rosso),
oppure con procedimento approssimato (a tratti blu).
Se sei interessato ad approfondire l’argomento, ti segnalo il sito:
http://nonnog.altervista.org/index.html
dove potrai trovare nella sezione Elettronica Analogica esaurienti
illustrazioni sui diagrammi di Bode delle principali configurazioni
utilizzate nella Regolazione Automatica (vedi in particolare
“caratteristiche degli Op-Amp reazionati”).
Per eventuali ulteriori spiegazioni, contattami pure direttamente.
G.Schgör
quindi sull'asse delle ascisse vanno riportati i poli e gli zeri. ma in quale ordine? per esempio perchè è stato riportato prima 1/t1 e poi 1/t2? e poi perchè si fa l'inverso?
aspettate forse ho capito.
però mi sono fatto un altro esempio:
w(s) = (s + 3)/(s + 2)
quindi molto velocemente(salto i passaggi) posso scrivere:
20Log(3/2) + 20Log|((iw/3) + 1)| - 20Log|((iw/2) + 1)|
adesso si sommano i singoli contributi.
il primo vale circa 3,52.
ah come zeri c'è solo 2 e come poli 3. semplicemente prima si mette sull'asse di w il 2 e poi il 3.
avrò una linea retta che è "alta" 3,52 e arriva fino a 2 lungo w.
da li si abbassa di 20Db per decade poichè il termine è negativo. si ferma a 3 su w.da li ritorna a crescere di 20Db per decade perchè il termine è positivo.quindi viene un grafico assomigliante a quello che ha fatto schgor nell'esempio precedente.
ho capito bene? adesso provo il grafico della fase...
però mi sono fatto un altro esempio:
w(s) = (s + 3)/(s + 2)
quindi molto velocemente(salto i passaggi) posso scrivere:
20Log(3/2) + 20Log|((iw/3) + 1)| - 20Log|((iw/2) + 1)|
adesso si sommano i singoli contributi.
il primo vale circa 3,52.
ah come zeri c'è solo 2 e come poli 3. semplicemente prima si mette sull'asse di w il 2 e poi il 3.
avrò una linea retta che è "alta" 3,52 e arriva fino a 2 lungo w.
da li si abbassa di 20Db per decade poichè il termine è negativo. si ferma a 3 su w.da li ritorna a crescere di 20Db per decade perchè il termine è positivo.quindi viene un grafico assomigliante a quello che ha fatto schgor nell'esempio precedente.
ho capito bene? adesso provo il grafico della fase...
per quanto riguarda la fase ho fatto così:
intanto il termine 3,52 non da contributo.
osservo che c'è un polo del tipo s + 2: quindi avrò uno scalino che si abbassa di -pi/2 in corrispondenza di 2
inoltre c'è uno zero del tipo s + 3: quindi avrò uno scalino che si alza di pi/2 in corrispondenza di 3. se si sommano i grafici viene una specie di u tra 2 e 3. l'ho fatto con matlab l'esercizio e il risultato coincide con quello mio. purtroppo non so come farvelo vedere qui sul sito. ditemi comunque se i ragionamenti sono giusti!
intanto il termine 3,52 non da contributo.
osservo che c'è un polo del tipo s + 2: quindi avrò uno scalino che si abbassa di -pi/2 in corrispondenza di 2
inoltre c'è uno zero del tipo s + 3: quindi avrò uno scalino che si alza di pi/2 in corrispondenza di 3. se si sommano i grafici viene una specie di u tra 2 e 3. l'ho fatto con matlab l'esercizio e il risultato coincide con quello mio. purtroppo non so come farvelo vedere qui sul sito. ditemi comunque se i ragionamenti sono giusti!
Il mio suggerimento e': tratta le singole espressioni
come se fossero funzioni singole e poi somma i
diagrammi corrispondenti.
Cosi' non puoi sbagliare (e non hai dubbi sulla sequenza
delle costanti).
Questa e' la pratica che si utilizzava nello studio degli
anelli di regolazione.
come se fossero funzioni singole e poi somma i
diagrammi corrispondenti.
Cosi' non puoi sbagliare (e non hai dubbi sulla sequenza
delle costanti).
Questa e' la pratica che si utilizzava nello studio degli
anelli di regolazione.
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