Determinare equazione differenziale
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di capire qual è il procedimento per risolvere la tipologia di problemi come quello indicato nell'immagine a fine post. Ho postato questo esercizio come esempio, ne avrei anche altri da risolvere.
Guardando i modi mi viene da pensare che l'equazione differenziale sia di terzo ordine con l'equazione associata che presenta una radice reale (1) e due complesse ( $ -1/ 2 +- sqrt(3)/2i $ ). Spero sia giusto..
A questo punto come posso risalire all'equazione differenziale?
Come detto, più che a questo caso specifico, mi interesserebbe sapere il procedimento pratico generale. Grazie
Avrei bisogno di capire qual è il procedimento per risolvere la tipologia di problemi come quello indicato nell'immagine a fine post. Ho postato questo esercizio come esempio, ne avrei anche altri da risolvere.
Guardando i modi mi viene da pensare che l'equazione differenziale sia di terzo ordine con l'equazione associata che presenta una radice reale (1) e due complesse ( $ -1/ 2 +- sqrt(3)/2i $ ). Spero sia giusto..
A questo punto come posso risalire all'equazione differenziale?
Come detto, più che a questo caso specifico, mi interesserebbe sapere il procedimento pratico generale. Grazie
Risposte
Passi attraverso le trasformate di Laplace.
Al modo $e^t$ corrisponde l'eq differenziale $y'(t)-y(t)=0$, che trasformata diventa $(s-1)Y(s)=0$.
"Aggiugi" gli altri modi: $(s-1)(s+1/2 +\sqrt3 /2 i)(s+1/2 -\sqrt3 /2 i)Y(s)=0$.
Quindi rimetti il polinomio in $s$ nella sua forma non fattorizzata $(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)=0$, a cui corrisponde l'eq differenziale $y'''+a_2 y''+ a_1 y' + a_0 y = 0 $.
Al modo $e^t$ corrisponde l'eq differenziale $y'(t)-y(t)=0$, che trasformata diventa $(s-1)Y(s)=0$.
"Aggiugi" gli altri modi: $(s-1)(s+1/2 +\sqrt3 /2 i)(s+1/2 -\sqrt3 /2 i)Y(s)=0$.
Quindi rimetti il polinomio in $s$ nella sua forma non fattorizzata $(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)=0$, a cui corrisponde l'eq differenziale $y'''+a_2 y''+ a_1 y' + a_0 y = 0 $.
"Quinzio":
Passi attraverso le trasformate di Laplace.
Al modo $e^t$ corrisponde l'eq differenziale $y'(t)-y(t)=0$, che trasformata diventa $(s-1)Y(s)=0$.
"Aggiugi" gli altri modi: $(s-1)(s+1/2 +\sqrt3 /2 i)(s+1/2 -\sqrt3 /2 i)Y(s)=0$.
Quindi rimetti il polinomio in $s$ nella sua forma non fattorizzata $(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)=0$, a cui corrisponde l'eq differenziale $y'''+a_2 y''+ a_1 y' + a_0 y = 0 $.
Sì il mio dubbio era più che altro matematico in effetti.. Non sapevo come ricavare dai nodi l'equazione differenziale.
"Quinzio":
Passi attraverso le trasformate di Laplace.
Al modo $e^t$ corrisponde l'eq differenziale $y'(t)-y(t)=0$, che trasformata diventa $(s-1)Y(s)=0$.
"Aggiugi" gli altri modi: $(s-1)(s+1/2 +\sqrt3 /2 i)(s+1/2 -\sqrt3 /2 i)Y(s)=0$.
Quindi rimetti il polinomio in $s$ nella sua forma non fattorizzata $(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)=0$, a cui corrisponde l'eq differenziale $y'''+a_2 y''+ a_1 y' + a_0 y = 0 $.
Allora, a me viene: $ (d^3y)/dt^3-y(t)=0 $
E' corretto?
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo