Densità Spettrale di Potenza
Salve a tutti, so che ci sono moltissimi esercizi svolti su questo argomento, ma il mio è un dubbio più teorico che altro e spero possa riuscire a risolverlo con voi.
Ho questo segnale nel tempo:
$ x(t)=2+cos(2Pi t 1/ (T0))+2delta (t) $
In quanto devo calcolare la sua potenza, ho pensato sia meglio integrare la dsp del segnale.
Procedo con la trasformata:
$ x(f)=2delta (f)+ 1/2delta (f-text(f){::}_(0)) + 1/2delta (f+text(f){::}_(0))+2 $
[jxg]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[/jxg]
la DSP si calcola facendo $ lim_(x ->oo ) (W(F)^2)/T $ dove W(F) e' il segnale troncato in un periodo.
Da qui in poi non so come procedere.
Prima di tutto devo sommare a tutte le delta il contributo della costante due.
Procedo a calcolare la dps delle varie delta: $2delta (f)$ è uguale a 4 grazie al contributo e quindi:
$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (4^2)/T $ + $ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $
Come risolvo? Il periodo T vale 1 in quanto impulso?
l'integrale perde di significato in quanto area sottesa di un impulso. Quindi assumendo T=1 la P= $16+25/4+25/4$
Manca solo la componente continua $2$ e qui casca l'asino. : $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $ La durata della costante è infinita non ho proprio idea di come risolvere. Riuscite ad aiutarmi?
Ho questo segnale nel tempo:
$ x(t)=2+cos(2Pi t 1/ (T0))+2delta (t) $
In quanto devo calcolare la sua potenza, ho pensato sia meglio integrare la dsp del segnale.
Procedo con la trasformata:
$ x(f)=2delta (f)+ 1/2delta (f-text(f){::}_(0)) + 1/2delta (f+text(f){::}_(0))+2 $
[jxg]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[/jxg]
la DSP si calcola facendo $ lim_(x ->oo ) (W(F)^2)/T $ dove W(F) e' il segnale troncato in un periodo.
Da qui in poi non so come procedere.
Prima di tutto devo sommare a tutte le delta il contributo della costante due.
Procedo a calcolare la dps delle varie delta: $2delta (f)$ è uguale a 4 grazie al contributo e quindi:
$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (4^2)/T $ + $ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $
Come risolvo? Il periodo T vale 1 in quanto impulso?
l'integrale perde di significato in quanto area sottesa di un impulso. Quindi assumendo T=1 la P= $16+25/4+25/4$
Manca solo la componente continua $2$ e qui casca l'asino. : $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $ La durata della costante è infinita non ho proprio idea di come risolvere. Riuscite ad aiutarmi?
Risposte
A parte i problemi con i calcoli, l’analisi spettrale di potenza di un segnale come quello non è immediata: inoltre richiederebbe anche la valutazione degli gli spettri mutui delle diverse componenti.
Se lo scopo dell’esercizio è soltanto il calcolo dellla potenza, credo che la via più breve sia l’applicazione della formula tradizionale:
$Px=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^{2}dt$
Se lo scopo dell’esercizio è soltanto il calcolo dellla potenza, credo che la via più breve sia l’applicazione della formula tradizionale:
$Px=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^{2}dt$
Svolgo il calcolo della potenza nel tempo:
$ x(t)=2+ cos(2Πt1/T)dt +2δ(t) $
Banalmente divido l'integrale:
$ Px=limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2^2 dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) cos^2(2Πt1/T) dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2δ(t) dt $
=
$ 4+int_(-t/2)^(t/2) (cos(4Πt1/T) +1)/2+ 4int_(-t/2)^(t/2) δ^2(t) dt $
= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4Πt1/T)/2 dt+lim t-> oo 1/T int_(-T/2)^(T/2) 1/2 dt+ 4 $
= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) (e^((j4pit1/T))+ e^((-j4pit1/T)))/2dt+1/2 +4$
= $ 4+lim t-> oo[ 1/2T [(e^((j4pit2/T))+ e^((-j4pit2/T)))/(j8pit1/T)-(e^((-j4pit2/T))+ e^((+j4pit2/T)))/(j8pit1/T)]+1/2+4 $ =8+1/2
$ x(t)=2+ cos(2Πt1/T)dt +2δ(t) $
Banalmente divido l'integrale:
$ Px=limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2^2 dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) cos^2(2Πt1/T) dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2δ(t) dt $
=
$ 4+int_(-t/2)^(t/2) (cos(4Πt1/T) +1)/2+ 4int_(-t/2)^(t/2) δ^2(t) dt $
= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4Πt1/T)/2 dt+lim t-> oo 1/T int_(-T/2)^(T/2) 1/2 dt+ 4 $
= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) (e^((j4pit1/T))+ e^((-j4pit1/T)))/2dt+1/2 +4$
= $ 4+lim t-> oo[ 1/2T [(e^((j4pit2/T))+ e^((-j4pit2/T)))/(j8pit1/T)-(e^((-j4pit2/T))+ e^((+j4pit2/T)))/(j8pit1/T)]+1/2+4 $ =8+1/2
x(t)=2+cos(2Πt1T0)+2δ(t)
la potenza nel tempo diventa:
$ Px=limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 2^2 dt + limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos^2(2pit1/t)^2 dt+limT→∞2/Tint_(-T/2)^(T/2) delta^2 dt$
$Px=4+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4pit1/t)/2 dt+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 1/2dt +4 $
Il coseno è uguale a zero poichè funzione pari in un intervallo simmetrico, o anche perchè trasformando il coseno grazie alle formule di eulero alla fine otteniamo due termini che si ellidono.
Il mio unico dubbio adesso è l'integrale della delta al quadrato, per definizione l'integrale della delta è uguale a 1, ma della delta al quadrato non ho trovato nulla. Qualcuno sa aiutarmi? procedo assumendo che valga 1 e quindi ottengo:
$4+1/2+4=17/2$ che è diverso da quanto mi verrebbe se calcolato con la frequenza, ovvero 28.5
Ma colpo di scena,se in frequenza considerassi il due come 2*Delta(f) e non come costante allora verrebbe anch'esso 8.5. Se Mi confermate i calcoli in questa risposta possiamo chiudere il post, in quanto l'errore è stato considera il 2 come costante e non come 2*delta di dirac
la potenza nel tempo diventa:
$ Px=limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 2^2 dt + limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos^2(2pit1/t)^2 dt+limT→∞2/Tint_(-T/2)^(T/2) delta^2 dt$
$Px=4+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4pit1/t)/2 dt+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 1/2dt +4 $
Il coseno è uguale a zero poichè funzione pari in un intervallo simmetrico, o anche perchè trasformando il coseno grazie alle formule di eulero alla fine otteniamo due termini che si ellidono.
Il mio unico dubbio adesso è l'integrale della delta al quadrato, per definizione l'integrale della delta è uguale a 1, ma della delta al quadrato non ho trovato nulla. Qualcuno sa aiutarmi? procedo assumendo che valga 1 e quindi ottengo:
$4+1/2+4=17/2$ che è diverso da quanto mi verrebbe se calcolato con la frequenza, ovvero 28.5
Ma colpo di scena,se in frequenza considerassi il due come 2*Delta(f) e non come costante allora verrebbe anch'esso 8.5. Se Mi confermate i calcoli in questa risposta possiamo chiudere il post, in quanto l'errore è stato considera il 2 come costante e non come 2*delta di dirac
Attenzione perché anche qui ci sono i prodotti incrociati dovuti al quadrato della somma delle tre componenti:
$|x(t)|^{2}=(2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))\cdot (2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))$
Comunque, dovresti poter dimostrare che i prodotti incrociati non danno contributi, la potenza dovuta alla costante $2$ è $4$, la potenza dovuta al coseno è $1/2$, e la potenza dovuta alla delta di Dirac è nulla, come si può dimostrare:
$|x(t)|^{2}=(2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))\cdot (2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))$
Comunque, dovresti poter dimostrare che i prodotti incrociati non danno contributi, la potenza dovuta alla costante $2$ è $4$, la potenza dovuta al coseno è $1/2$, e la potenza dovuta alla delta di Dirac è nulla, come si può dimostrare:
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