Curiosità di elettrotecnica
Ciao a tutti. Non mi occupo direttamente di elettrotecnica, ma studiando per l'esame di fisica 2 (studio geologia ma ho messo questo esame perché voglio proseguire in geofisica applicata) mi sono interessato all'elettrotecnica. Come mai nell'induttanza, la componente reattanza è espressa con numero complesso? Cioè, come mai questa necessità? Che riscontro ed interpretazione ha nei casi reali quella parte complessa?
Risposte
Quando si ha a che fare con circuiti operanti in regime sinusoidale, è molto utile passare dal dominio del tempo al dominio dei fasori (https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor) attraverso la trasformata di Steinmetz che permette di rappresentare le grandezze sinusoidali attraverso la loro fase e la loro ampiezza. In questo modo invece che dover lavorare con equazioni differenziali si passa a lavorare con equazioni algebriche (complesse) molto più facili da gestire.
Il generico bipolo nel dominio dei fasori è rappresentato dall'impedenza: $Z=R+j I$, dove $R$ è la resistenza associata e $X$ la reattanza. Quindi:
La reattanza è sempre un numero immaginario, eventualmente nullo come nel caso del resistore.
Nel caso dell'induttanza, la sua equazione costitutiva nel dominio del tempo è: $v(t) = L d/dt i(t)$, trasformandola con Steinmetz diventa [tex]\tilde{V} = j \omega L \tilde{I}[/tex]
Quindi l'impedenza dell'induttore è [tex]Z =\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}} =j \omega L[/tex]
Il generico bipolo nel dominio dei fasori è rappresentato dall'impedenza: $Z=R+j I$, dove $R$ è la resistenza associata e $X$ la reattanza. Quindi:
Come mai nell'induttanza, la componente reattanza è espressa con numero complesso?
La reattanza è sempre un numero immaginario, eventualmente nullo come nel caso del resistore.
Nel caso dell'induttanza, la sua equazione costitutiva nel dominio del tempo è: $v(t) = L d/dt i(t)$, trasformandola con Steinmetz diventa [tex]\tilde{V} = j \omega L \tilde{I}[/tex]
Quindi l'impedenza dell'induttore è [tex]Z =\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}} =j \omega L[/tex]
"Sling":
...
La reattanza è sempre un numero immaginario, eventualmente nullo come nel caso del resistore.
Scusa ma la reattanza $X$ è sempre un numero reale [nota]Positivo o negativo.[/nota], definito come parte immaginaria dell'impedenza $Z$.
Ops! Si hai ragione.
La reattanza è il coefficiente della parte immaginaria dell'impedenza, quindi un numero reale.
La reattanza è il coefficiente della parte immaginaria dell'impedenza, quindi un numero reale.
L'effetto prodotto da $ j $ è quello di provocare uno sfasamento di $90° $ : considera di avere una corrente sinusoidale di pulsazione $omega = 2pi f $ espressa dalla formula $i(t) = A sin ( omegat +phi ) $
Se questa corrente viene fatta passare attraverso un resistore $R $ la tensione ai capi dello stesso sarà $v = A*R sin ( omegat +phi )$ ; la sinusoide cambia di ampiezza ma la sua fase resta la stessa.
Se invece la corrente passa attraverso un induttore $L $ la tensione ai capi dell'induttore sarà $v= jomega L i $ che significa che la fase della sinusoide si sposta in anticipo di $90° $, cioè $ v= omega L sin (omegat+phi+90°)$
Se questa corrente viene fatta passare attraverso un resistore $R $ la tensione ai capi dello stesso sarà $v = A*R sin ( omegat +phi )$ ; la sinusoide cambia di ampiezza ma la sua fase resta la stessa.
Se invece la corrente passa attraverso un induttore $L $ la tensione ai capi dell'induttore sarà $v= jomega L i $ che significa che la fase della sinusoide si sposta in anticipo di $90° $, cioè $ v= omega L sin (omegat+phi+90°)$
Provo a spiegare il concetto senza alcun rigore matematico e con qualche inesattezza concettuale.
Quando avvolgi un filo su un paramagnete e ci mandi della corrente dentro, sperimentalmente si verifica che la tensione ai suoi capi è direttamente proporzionale alla derivata rispetto al tempo della corrente. Questa è una diretta conseguenza delle equazioni di Maxwell.
Trattando circuiti complessi (e per complessi intendo qualunque cosa più di un filtro RL), puoi immaginare che avere a che fare con derivate ed integrali nei conti non sia proprio conveniente. Infatti, il calcolo dei valori di tensioni e correnti in un circuito di questo tipo , nel dominio del tempo, richiede la risoluzione di un sistema di equazioni differenziali.
Ma agli elettronici non piace risolvere equazioni differenziali, e se la tensione di ingresso è di tipo sinusoidale, esiste uno strumento matematico molto utile che si chiamano fasori, una versione light della trasformata di Fourier. Applicando questa trasformata si passa dal dominio del tempo, al dominio della frequenza.
Nel dominio della frequenza, essenzialmente, la derivata diventa una semplice moltiplicazione per "j", e quindi, quel set di equazioni differenziali, diventa un set di equazioni lineari (complesse).
Una volta finiti tutti i calcoli puoi ritornare nel dominio del tempo, con un altro utile operatore matematico detto antitrasformata.
Quando avvolgi un filo su un paramagnete e ci mandi della corrente dentro, sperimentalmente si verifica che la tensione ai suoi capi è direttamente proporzionale alla derivata rispetto al tempo della corrente. Questa è una diretta conseguenza delle equazioni di Maxwell.
Trattando circuiti complessi (e per complessi intendo qualunque cosa più di un filtro RL), puoi immaginare che avere a che fare con derivate ed integrali nei conti non sia proprio conveniente. Infatti, il calcolo dei valori di tensioni e correnti in un circuito di questo tipo , nel dominio del tempo, richiede la risoluzione di un sistema di equazioni differenziali.
Ma agli elettronici non piace risolvere equazioni differenziali, e se la tensione di ingresso è di tipo sinusoidale, esiste uno strumento matematico molto utile che si chiamano fasori, una versione light della trasformata di Fourier. Applicando questa trasformata si passa dal dominio del tempo, al dominio della frequenza.
Nel dominio della frequenza, essenzialmente, la derivata diventa una semplice moltiplicazione per "j", e quindi, quel set di equazioni differenziali, diventa un set di equazioni lineari (complesse).
Una volta finiti tutti i calcoli puoi ritornare nel dominio del tempo, con un altro utile operatore matematico detto antitrasformata.
Ma allora, scusate, l'impedenza è una funzione olomorfa? O lo è solo la reattanza?
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