Correlazione tra due segnali

[elena.martini17]

Devo trovare $ e_{xy} (t) $ , cioè la correlazione tra $ x(t)= e^{-t} u(t) $ e y(t) , uscente da un canale perfetto. Essendo y(t) uscente da un canale perfetto avrà questa forma $ y(t) = Ax(t- t_0 ) = A e^{t_0 - t } u(t - t_0) $
Per trovare la correlazione ho utilizzato la definizione $ e_{xy} (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{\ast}(\tau ) y(t+ \tau) d\tau $. Andando a sostituire ottengo $ e_{xy} (t) = \int_{-\infty}^{+\infty}( e^{-\tau } u(\tau))^{\ast} [A e^{t_0 -t -\tau} u(t + \tau - t_0) d\tau $. A questo punto però sono bloccata e non riesco a risolvere l’integrale o meglio, a me risulta $ \frac{A}{-2}[ e^{-2 - t_0 - t } - e^{-t_0 -t } $ mentre dovrebbe risultare $ \frac{A}{2} e^{- |t-T| }$ e non capisco dove ho sbagliato.. guardando la soluzione vedo che fa il mio stesso integrale quindi credo di aver sbagliato proprio lì

[Studente Anonimo]

Si tratta di svolgere l'integrale sottostante:

$Ae^(-t+t_0)\int_{-oo}^{+oo}e^(-2\tau)u(\tau)u(t+\tau-t_0)d\tau$

considerando i supporti dei due gradini:

Primo gradino: $u(\tau)$

$\tau gt 0$

Secondo gradino: $u(t+\tau-t_0)$

$\tau gt -t+t_0$

Ad ogni modo, probabilmente hai commesso una svista nell'indicare la soluzione:

$A/2e^(-|t-T|)$

Più verosimilmente dovrebbe essere:

$A/2e^(-|t-t_0|)$

[elena.martini17]

Riguardo alla soluzione hai ragione , nel farlo io ho scritto t_0 al posto di T e quando ho scritto la soluzione del libro mi sono dimenticata di sostituire. Non riesco a capire che fine ha fatto l’asterisco del primo membro dell’integrale Ho provato a risolvere il tuo l’integrale ma a me risulta $ \A e^{t_0 - t } \frac{e^{-2t_0 + 2 t } - 1 } {-2} $ con l’integrale precedente i cui estremi erano $ 0 $ e $ t_0 - t $. RisolvendO ottengo $ \frac{A}{-2} [ e^{-t_0 + t } - e^{t_0 -t }] $ e non capisco dove sbaglio

[Studente Anonimo]

Nella speranza che tu riesca a capirlo autonomamente, ti mostro il procedimento:

Caso 1

$[-t+t_0 gt 0] rarr [t lt t_0]$

Integrale

$Ae^(-t+t_0)\int_{-t+t_0}^{+oo}e^(-2\tau)d\tau=Ae^(-t+t_0)[-1/2e^(-2\tau)]_{-t+t_0}^{+oo}=1/2Ae^(-t+t_0)e^(-2(-t+t_0))=1/2Ae^(t-t_0)$

Caso 2

$[-t+t_0 lt 0] rarr [t gt t_0]$

Integrale

$Ae^(-t+t_0)\int_{0}^{+oo}e^(-2\tau)d\tau=Ae^(-t+t_0)[-1/2e^(-2\tau)]_{0}^{+oo}=1/2Ae^(-t+t_0)$

[elena.martini17]

Forse sono riuscita a capire il primo caso ( lo spero ) : ho posto le condizioni di esistenza del primo e del secondo u(t) maggiori di 0 , quindi avremmo $ \tau > 0 $ e $ t- t_0 + \tau > 0 $ , questo significa che $ \tau > t_0 - t $ ed andando a fare il grafico otterrei lo stesso integrale che hai scritto per il primo caso ( cioè $ \int_{t_0 - t}^{+ \infty } $ ) Non so però se il mio ragionamento è corretto perché nel secondo caso dovrei invece studiare $ \tau < 0 $ ma poi $ t - t_0 + \tau $ potrebbe essere sia maggiore che minore di 0. L’ho fatto per entrambi o casi e non ottengo il tuo stesso integrale. Non so se il mio ragionamento, almeno per la prima parte , ha un senso perché anche qui non considero $ \ast $

Provando a rifarlo parto studiando i due casi
2) $ \tau < 0 $ , poi pongo $ t + \tau - t_0 = 0 $ da cui $ t > t_0 $ se lo confronto con la prima condizione
1) $ \tau >0 $ , poi pongo sempre $ t + \tau - t_0 = 0 $ da cui $ t < t_0 $ se lo confronto con la prima condizione
E fino a qui ottengo le tue stesse condizioni
Poi però facendo i grafici per vedere la zona di integrazione mi risulta che il caso 2 dovrebbe essere integrato da $ - \infty $ a $ t_0 - t $ e il caso 1 da $ t_0 - t $ a $ \infty $
Non sbaglio i calcoli , credo , penso di essere proprio una capra perché non ci arrivo

[Studente Anonimo]

Poiché:

Supporto primo gradino $u(\tau)$

$\tau gt 0$

Supporto secondo gradino $u(t+\tau-t_0)$

$\tau gt -t+t_0$

si hanno due casi:

Caso 1

$[-t+t_0 gt 0] rarr [t lt t_0]$

Supporto prodotto $u(\tau)u(t+\tau-t_0)$

$\tau gt -t+t_0$

Caso 2

$[-t+t_0 lt 0] rarr [t gt t_0]$

Supporto prodotto $u(\tau)u(t+\tau-t_0)$

$\tau gt 0$

Ora dovrebbe essere più chiaro.

[elena.martini17]

Grazie mille !!! Ora ho capito il ragionamento che sta dietro ai due integrali ! Posso chiederti un ultima cosa ? (giuro ! ) ora che ho capito come sono stati fatti i due integrali , per il caso 1 e 2 , ed ho ottenuto i tuoi stessi risultati, il risultato espresso dal mio libro ( quello che il modulo ) è ottenuto dalla somma dei due ? cioe’ $ \frac{A}{2} e^{t- t_0 } + \frac{A}{2} e^{-t+t_0} $

[Studente Anonimo]

Assolutamente no. Come si è visto in precedenza, la soluzione è definita a tratti:

$[t lt t_0] rarr [e_(xy)(t)=1/2Ae^(t-t_0)]$

$[t gt t_0] rarr [e_(xy)(t)=1/2Ae^(-t+t_0)]$

Questo non toglie che, utilizzando il valore assoluto, si possa esprimere anche in modo compatto:

$e_(xy)(t)=1/2Ae^(-|t-t_0|)$

Insomma, basta discutere l'argomento del valore assoluto.