Convoluzione grafica(Teoria dei segnali)

[Daniela011]

Buonasera, ho svolto il seguente esercizio, nell'immagine allegata la convoluzione tra c(t) e d(t).
Ma non riesco a capire perché la soluzione sia un trapezio con base compresa tra T e 2T, mentre io avrei trovato che il trapezio ha base compresa tra T/3 e T, non capisco dove io abbia sbagliato, e perché la soluzione sia traslata di (2/3)T.

[Quinzio]

L'integrale di convoluzione e' questo
$\int c(t-\tau)d(\tau)d\tau$

Abbiamo che
$c(t-\tau) \ne 0 $ se $t-\tau \in [T/3, T]$ (1)
e
$d(\tau) \ne 0 $ se $\tau \in [(2T)/3, T]$. (2)

Si puo' usare una specie di algebra degl intervalli, nel senso che dalla (1):
$t \in [T/3, T] + \tau$

e sostituendo $\tau$ con la (2)

$t \in [T/3, T] + [(2T)/3, T]$

$t \in [T, 2T]$

[Daniela011]

Questo dimostra perché effettivamente la base sia compresa tra T e 2T.
Peró quello che io non capisco é perché, facendo la convoluzione graficamente, non me ne renda conto.
Ho ribaltato $d(t)$ rispetto all'asse y dopodiché l'ho traslata analizzando i vari intervalli di sovrapposizione con $c(t)$ ma il primo intervallo che incontro é $1/3T <= t <=2/3T$
Quindi poi sarà questo il primo intervallo in cui inizieró a rappresentare il trapezio. O forse sbaglio?

[Quinzio]

Ribalti $d(t)$ rispetto all'asse y e l'impulso va a $[-T, -2/3 T]$.
Se lo trasli di $T$ a destra, va a $[0, 1/3 T]$ e inizia a sovrapporsi a $c(t)$. Ti torna ?

[Daniela011]

Si esattamente, ma prima di $t>T/3$ non avviene alcuna sovrapposizione, giusto?

[Quinzio]

"Daniela0":Si esattamente, ma prima di $t>T/3$ non avviene alcuna sovrapposizione, giusto?

Certo, non avviene prima di $T$ e quindi a maggior ragione prima di $T/3$

[Daniela011]

Credo di non avere ben capito come procedere graficamente quando i segnali che mi vengono presentati non "partono" diciamo dall'origine, come nel primo caso: come bisogna procedere? Perché ogni volta sbaglio.
Ad esempio anche nel seguente esercizio non capisco come la convoluzione grafica dia questo risultato:

[Quinzio]

Hai il segnale $f(\tau)$
$f(-\tau)$ e' il segnale ribaltato sull'asse y.
$f(t-\tau)$ e' il segnale ribaltato sull'asse y e poi spostato a destra di $t$.

[Daniela011]

Allora, cercheró di spiegare bene ció che non capisco.
Ritorno al primo esercizio di cui ho allegato l'immagine.
Quando realizzo la convoluzione grafica, ribalto uno dei due segnali(solitamente quello di durata piú breve) rispetto all'asse $ y $ e lo traslo finché questo non risulta sovrapposto al secondo.
Ecco, secondo il mio ragionamento, i risultati della convoluzione al variare di t sono:
$ t<=T/3$ risulta $ 0$

$T/3 Risulta $4V^2(t-T/3)$

$(2/3)T<=t<=T $
Risulta $(4/3)TV^2$

$T Risulta $4V^2((4/3)T-t)$

$t>=4/3 $
Risulta $0$

Il che fornisce come risulato un trapezio con base maggiore compresa tra $T/3$ e $(4/3)T$, che é un intervallo sbagliato rispetto alla soluzione corretta.
Non capisco, cosa sbaglio?

[Quinzio]

"Daniela0":
Quando realizzo la convoluzione grafica, ribalto uno dei due segnali(solitamente quello di durata piú breve) rispetto all'asse $ y $ e lo traslo finché questo non risulta sovrapposto al secondo.

Lo ribalti rispetto all'asse y o lo ribalti rispetto al fronte di salita di sinistra ?
Ci vorrebbe un disegnino, che faro' con calma. Adesso non ho tempo.

Se ribalti rispetto all'asse y devi ottenere quello che ti ho spiegato, quindi secondo me diciamo la stessa cosa ma poi la facciamo in modo diverso.

[Daniela011]

Ho allegato il disegno, io faccio cosí e poi traslo.

[Quinzio]

Ok, prendendo l'impulso a sinistra di quanto devi traslarlo a destra perche' inizino a sovrapporsi ?

Risposta: T.
No ?

(T/3) - (-2T/3) = T

Cosa non ti torna ?

[Daniela011]

Non mi torna perché, se iniziano a sovrapporsi in $T/3$ e finiscono di sovrapporsi in $(4/3)T$ la soluzione della convoluzione, cioé il trapezio che ne esce fuori, abbia base compresa tra $T$ e $2T$ e non $T/3$ e $(4/3)T$.