Controlli automatici[errore a regime con disturbo]

[luaneddra1989]

Ciao a tutti volevo chiedevi come si calcola l'errore a regime quando il disturbo è di tipo sinusoidale!
In questo esercizio visto che abbiamo due poli nell origine l'errore dovuto all ingresso r(t) è zero. Quindi l'errore è dovuto solamente al disturbo ... Come faccio a calcolarlo?

[Vexx23*]

Devi, per cominciare, valutare la funzione di trasferimento tra disturbo e uscita, quando l'ingresso di riferimento è nullo:
\(\frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{G(s)}{1+KG(s)}\)
per semplice ispezione del sistema a retroazione.
Ovviamente \(Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}\) e \(D(s) = \mathcal{L}\{d(t)\}\).
Per il teorema della risposta armonica, la risposta a regime permanente, ad un segnale sinusoidale, di un sistema lineare tempo invariante (LTI) - per inciso qualunque sistema descrivibile attraverso una funzione di trasferimento è un sistema LTI - è ancora un segnale sinusoidale isofrequenziale (cioè oscillante alla stessa pulsazione del segnale di ingresso), amplificato di un fattore pari al modulo della fdt a quella pulsazione e sfasato di un fattore pari alla fase della fdt a quella pulsazione.
In formule, se la fdt del sistema è \(H(s)\) e il segnale di ingresso vale \(u(t) = u_0sin(\omega _0t + \phi_0) \), allora il segnale di uscita varrà \( y(t) = |H(j\omega_0)|u_0 sin\big(\omega _0t+\phi_0 + \angle H(j\omega_0)\big) \).
Nel tuo caso, ovviamente il segnale di ingresso è il disturbo, quindi \(H(s) := \frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{G(s)}{1+KG(s)}\).
Stai attento che questo risultato vale solamente a regime permanente (steady state), ossia quando ogni transitorio può considerarsi ragionevolmente esaurito.