Controlli automatici: sistemi lineari
Buongiorno a tutti, mi sto esercitando con degli esercizi da esame di controlli automatici.
Sto avendo un problema con questo, non sapendo in che modo approcciare alla soluzione.
Si consideri il sistema lineare:
\(\displaystyle x'=\begin{bmatrix}
-13 & 12\\
-8 & 7
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}
4\\
3
\end{bmatrix}u\\
y=\begin{bmatrix} 2 &-2\end{bmatrix}x \)
Ponendo \(\displaystyle u(t)=0 \) e condizione iniziale arbitraria, si chiede di determinare la costante di tempo con cui l'uscita \(\displaystyle y(t) \) del sistema tende a zero.
Ringrazio già chi riuscirà a darmi una mano
Sto avendo un problema con questo, non sapendo in che modo approcciare alla soluzione.
Si consideri il sistema lineare:
\(\displaystyle x'=\begin{bmatrix}
-13 & 12\\
-8 & 7
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}
4\\
3
\end{bmatrix}u\\
y=\begin{bmatrix} 2 &-2\end{bmatrix}x \)
Ponendo \(\displaystyle u(t)=0 \) e condizione iniziale arbitraria, si chiede di determinare la costante di tempo con cui l'uscita \(\displaystyle y(t) \) del sistema tende a zero.
Ringrazio già chi riuscirà a darmi una mano
Risposte
Sarebbe bene che provassi di tuo comunque ti traccio la soluzione.
Il sistema con u=0 è un sistema autonomo con 2 costanti di tempo pari all'inverso del modulo degli autovalori della matrice A, posto che il sistema sia asintoticamente stabile.
Il polinomio caratteristico è quindi dato da det(sI-A)=0, per cui si trova s1 = -1, s2 =-5 e quindi le costanti di tempo sono T1 = 1 s e T2 =0.2 s.
Il sistema è asintoticamente stabile e per una data condizione iniziale(*) lo stato del sistema evolverà secondo queste due costanti di tempo.
(*) Per le condizioni iniziali proporzionali all'autovettore corrispondente a s1 lo stato sarà solo dipendente da T1 e per quelle proporzionali all'autovettore corrispondente a s2 lo stato sarà solo dipendente da T2. Salvo questi casi particolari la soluzione conterrà entrambe le costanti di tempo.
Adesso si può però verificare che nonostante lo stato abbia due costanti di tempo, l'uscita dipende da una sola costante di tempo. Infatti si ha:
$y= 2*(x_1-x_2)$
$dot y = 2*(dotx_1 -dotx_2) = 2*(-13x_1+12x_2 + 8 x_1 - 7 x_2) = 2*(-5*x_1+5*x_2)=-5*y$
e quindi l'uscita è del primo ordine e dipende solo da T2 = 0.2 s.
Perchè siamo in un caso di questo tipo? Una risposta è che la matrice di osservabilità
$((C),(CA)) =((2,-2), (-10, 10))$
ha determinante nullo e pertanto il sistema non è osservabile. Questo praticamente si traduce nel fatto che vedo solo una delle due costanti di tempo.
Il sistema con u=0 è un sistema autonomo con 2 costanti di tempo pari all'inverso del modulo degli autovalori della matrice A, posto che il sistema sia asintoticamente stabile.
Il polinomio caratteristico è quindi dato da det(sI-A)=0, per cui si trova s1 = -1, s2 =-5 e quindi le costanti di tempo sono T1 = 1 s e T2 =0.2 s.
Il sistema è asintoticamente stabile e per una data condizione iniziale(*) lo stato del sistema evolverà secondo queste due costanti di tempo.
(*) Per le condizioni iniziali proporzionali all'autovettore corrispondente a s1 lo stato sarà solo dipendente da T1 e per quelle proporzionali all'autovettore corrispondente a s2 lo stato sarà solo dipendente da T2. Salvo questi casi particolari la soluzione conterrà entrambe le costanti di tempo.
Adesso si può però verificare che nonostante lo stato abbia due costanti di tempo, l'uscita dipende da una sola costante di tempo. Infatti si ha:
$y= 2*(x_1-x_2)$
$dot y = 2*(dotx_1 -dotx_2) = 2*(-13x_1+12x_2 + 8 x_1 - 7 x_2) = 2*(-5*x_1+5*x_2)=-5*y$
e quindi l'uscita è del primo ordine e dipende solo da T2 = 0.2 s.
Perchè siamo in un caso di questo tipo? Una risposta è che la matrice di osservabilità
$((C),(CA)) =((2,-2), (-10, 10))$
ha determinante nullo e pertanto il sistema non è osservabile. Questo praticamente si traduce nel fatto che vedo solo una delle due costanti di tempo.
Un altro modo per spiegare il risultato è il seguente. Gli autovettori del sistema sono:
s1 =-1 -> $V_1=((1),(1))$
s2 =-5 -> $V_2=((3/2),(1))$
che costituiscono una base di $RR^2$. Pertanto un qualunque stato iniziale potrà scriversi come combinazione lineare dei due autovettori, ovvero:
$X(0) = alpha*V_1 + beta*V_2$
La risposta in termini di stato sarà pertanto, per l'osservazione (*) fatta in precedenza, del tipo:
$X(t) = alpha*V_1 e^(-t/T_1)+beta*V_2*e^(-t/T_2)$
e quindi:
$y(t) = alpha C*V_1 e^(-t/T_1)+beta C*V_2*e^(-t/T_2)$
ma $C*V_1 = 0$ e quindi rimane solo T2.
In pratica il vettore dell'uscita è perpendicolare al vettore V1 e pertanto non conterrà mai nessuna proiezione dello stesso.
s1 =-1 -> $V_1=((1),(1))$
s2 =-5 -> $V_2=((3/2),(1))$
che costituiscono una base di $RR^2$. Pertanto un qualunque stato iniziale potrà scriversi come combinazione lineare dei due autovettori, ovvero:
$X(0) = alpha*V_1 + beta*V_2$
La risposta in termini di stato sarà pertanto, per l'osservazione (*) fatta in precedenza, del tipo:
$X(t) = alpha*V_1 e^(-t/T_1)+beta*V_2*e^(-t/T_2)$
e quindi:
$y(t) = alpha C*V_1 e^(-t/T_1)+beta C*V_2*e^(-t/T_2)$
ma $C*V_1 = 0$ e quindi rimane solo T2.
In pratica il vettore dell'uscita è perpendicolare al vettore V1 e pertanto non conterrà mai nessuna proiezione dello stesso.
Grazie intanto per i due metodi risolutivi!
Ti volevo chiedere solo un chiarimento: quindi dovendo fornire esplicitamente una costante di tempo richiesta, posso fornire ai una che l’altra, tra quelle trovate (e cioè 1 e/o 1/5)?
Inoltre, quando affermi che il sistema sia asintoticamente stabile dici così grazie al fatto che i due autovalori hanno entrambi parte reale negativa, giusto? (Cioè non c’entra con il fatto di aver posto nulla u(t))
Ti volevo chiedere solo un chiarimento: quindi dovendo fornire esplicitamente una costante di tempo richiesta, posso fornire ai una che l’altra, tra quelle trovate (e cioè 1 e/o 1/5)?
Inoltre, quando affermi che il sistema sia asintoticamente stabile dici così grazie al fatto che i due autovalori hanno entrambi parte reale negativa, giusto? (Cioè non c’entra con il fatto di aver posto nulla u(t))
"nicetry":
Ti volevo chiedere solo un chiarimento: quindi dovendo fornire esplicitamente una costante di tempo richiesta, posso fornire ai una che l’altra, tra quelle trovate (e cioè 1 e/o 1/5)?
No, ti chiede la costante di tempo dell'uscita y(t) e quindi solo 1/5
"nicetry":
Inoltre, quando affermi che il sistema sia asintoticamente stabile dici così grazie al fatto che i due autovalori hanno entrambi parte reale negativa, giusto?
Giusto
"nicetry":
(Cioè non c’entra con il fatto di aver posto nulla u(t))
Non c'entra nulla perchè la stabilità asintotica è una proprietà del sistema.
Il fatto che il sistema abbia u(t)=0 invece garantisce che sia X(t) che y(t) convergono a zero, perché asintoticamente si annulla la risposta alle condizioni iniziali.
Capito, grazie mille!
Rifacendolo seguendo i tuoi passaggi non mi torna quando hai scritto lo sviluppo di y=[2 -2]x. 12x_2 non dovrebbe avere segno -? O mi sono perso qualcosa io?
Rifacendolo seguendo i tuoi passaggi non mi torna quando hai scritto lo sviluppo di y=[2 -2]x. 12x_2 non dovrebbe avere segno -? O mi sono perso qualcosa io?
"nicetry":
12x_2 non dovrebbe avere segno -?
Quel termine proviene direttamente sviluppo di $ dotx_1=-13x_1 +12x_2$ ovvero la prima equazione differenziale dello stato. Perchè dovrebbe avere il segno negativo?
Ok, quindi lo sviluppo di \(\displaystyle x_2’ \) dovrebbe essere \(\displaystyle x_2’= - 8x_1 + 7x_2\) che però avendo \(\displaystyle -2x_2’ \) diventa \(\displaystyle 8x_1 - 7x_2\), giusto?
Giusto 
Ti ringrazio ancora una volta!
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