[Controlli Automatici] Risposta sistema dinamico
Ciao a tutti! ho qualche difficoltà svolgendo il seguente esercizio:
[img]https://i.imgur.com/10YIoyO.png?1[/img]
1) Basta porre la parte reale delle soluzioni dei poli negativa quindi essendo equazione di secondo grado:
quindi viene $-a(a-1)<0 \implies a>1, a<0$
2) Uguale a prima solo che ora gli estremi vengono inclusi in modo che anche poli immaginari puri vadano bene che tanto danno come risposte armoniche limitate(qui non sono sicuro).
3) Come faccio a trovare la risposta forzata senza conoscere le condizioni iniziali? Io avrei trasformato con Laplace unilatero a destra e a sinistra e avrei applicato poi il teorema del valore finale.
L'unica alternativa matematica che vedo è considerare la parte destra in u(t) come un "quasi polinomio" (forse qui lo chiamate metodo di somiglianza). E procedere con le esponenziali sostituendo e cercando la soluzione ma questo non è esattamente un quasi polinomio perché c'è $\delta_{-1}(t)$ che tra l'altro se non sbaglio è la derivata del $\delta(t)$ Inoltre viene troppo lunga credo ci sia un modo più semplice.
4)Qui invece credo che si faccia con la trasformata unilatera di Laplace però c'è di nuovo questo $\delta_{-1}(t)$...
$L(\cos (t) \delta_{-1}(t))=$..??
Se qualcuno mi può aiutare mi fa un grande favore...
Forse la mia confusione è dovuta al fatto che ho fatto l'anno scorso un po' di teoria dei segnali...
[img]https://i.imgur.com/10YIoyO.png?1[/img]
1) Basta porre la parte reale delle soluzioni dei poli negativa quindi essendo equazione di secondo grado:
quindi viene $-a(a-1)<0 \implies a>1, a<0$
2) Uguale a prima solo che ora gli estremi vengono inclusi in modo che anche poli immaginari puri vadano bene che tanto danno come risposte armoniche limitate(qui non sono sicuro).
3) Come faccio a trovare la risposta forzata senza conoscere le condizioni iniziali? Io avrei trasformato con Laplace unilatero a destra e a sinistra e avrei applicato poi il teorema del valore finale.
L'unica alternativa matematica che vedo è considerare la parte destra in u(t) come un "quasi polinomio" (forse qui lo chiamate metodo di somiglianza). E procedere con le esponenziali sostituendo e cercando la soluzione ma questo non è esattamente un quasi polinomio perché c'è $\delta_{-1}(t)$ che tra l'altro se non sbaglio è la derivata del $\delta(t)$ Inoltre viene troppo lunga credo ci sia un modo più semplice.
4)Qui invece credo che si faccia con la trasformata unilatera di Laplace però c'è di nuovo questo $\delta_{-1}(t)$...
$L(\cos (t) \delta_{-1}(t))=$..??
Se qualcuno mi può aiutare mi fa un grande favore...
Forse la mia confusione è dovuta al fatto che ho fatto l'anno scorso un po' di teoria dei segnali...
Risposte
Ti ricordo che la risposta forzata corrisponde alla risposta del sistema alle forzanti esterne a partire da condizioni iniziali nulle. 
Con $\delta_{-1}(t)$ ci si riferisce poi alla funzione a gradino unitario (di Heaviside), che probabilmente tu conosci come $u(t)$, o $\theta(t)$.
Con $\delta_{-1}(t)$ ci si riferisce poi alla funzione a gradino unitario (di Heaviside), che probabilmente tu conosci come $u(t)$, o $\theta(t)$.
grazie per la risposta. La conoscevo come $u(t)$ però ho sentito che sono legate in qualche modo allora si potrebbe dire che $\delta_{-1}(t)=\int_{-\infty}^t \delta(t) dt$
e che $\delta_1 (t) = \frac{d}{dt} \delta(t)$
(sto cercando di giustificare l'utilizzo di questi indici...)
e che $\delta_1 (t) = \frac{d}{dt} \delta(t)$
(sto cercando di giustificare l'utilizzo di questi indici...)
Grazie al tuo suggerimento sono riuscito ad andare avanti ma la situazione non è semplice mi chiedo se è giusta la soluzione:
DOMANDA 3
Siccome passando per Laplace mi veniva una funzione molto complicata da antitrasformare quindi ho pensato di procedere con il metodo dei quasi polinomi, ignorando il gradino perché tanto il seno è nullo nello zero:
$a \frac{du}{dt}-u(t) = a^2 \cos(at) - \sin(at) = a^2 \Re{e^{jat}}-\Im{e^{jat}}$
Per la sovrapposizione degli effetti considero:
1) $y_1(t)$ soluzione ponendo la parte non omogenea $a^2 \Re{e^{jat}}$
2) $y_2(t)$ soluzione ponendo la parte non omogenea $-\Im{e^{jat}}$
3) $y_p=y_1+y_2$
(essendo gli esponenziali quasi polinomi trovo la soluzione dell'eq. diff. e la soluzione vera sarà la somma delle corrispondenti parti reali/immaginarie, cosi ci insegnavano ad Analisi 2)
Rispettivamente mi risulta:
$y_p=-\frac{a^3}{1+a^3}\cos(at)-\frac{1}{a(a+1)}\sin(at)$
Spero almeno che il procedimento sia giusto.
DOMANDA 4
Per la quarta mi viene un'espressione in Laplace enorme, facendo la trasformata unilatera viene la risposta:
$-s/(2 (s^2 + 1)) + 3/(4 (s - 1)) - 1/(4 (s + 1)) - 1/s$ dove $1/(4 (s + 1))$ è la risposta libera mentre la
parte restante è quella forzata e come si può notare c'è un polo positivo che non va d'accordo con i calcoli di prima per la stabilità BIBO che doveva ancora valere nel caso a=1. Qui c'è un esponenziale crescente... forse ho sbagliato i conti prima o forse qui...
Spero che ci siano strade più brevi che voi conoscete perché secondo me l'esercizio dovrebbe avere una soluzione breve...
DOMANDA 3
Siccome passando per Laplace mi veniva una funzione molto complicata da antitrasformare quindi ho pensato di procedere con il metodo dei quasi polinomi, ignorando il gradino perché tanto il seno è nullo nello zero:
$a \frac{du}{dt}-u(t) = a^2 \cos(at) - \sin(at) = a^2 \Re{e^{jat}}-\Im{e^{jat}}$
Per la sovrapposizione degli effetti considero:
1) $y_1(t)$ soluzione ponendo la parte non omogenea $a^2 \Re{e^{jat}}$
2) $y_2(t)$ soluzione ponendo la parte non omogenea $-\Im{e^{jat}}$
3) $y_p=y_1+y_2$
(essendo gli esponenziali quasi polinomi trovo la soluzione dell'eq. diff. e la soluzione vera sarà la somma delle corrispondenti parti reali/immaginarie, cosi ci insegnavano ad Analisi 2)
Rispettivamente mi risulta:
$y_p=-\frac{a^3}{1+a^3}\cos(at)-\frac{1}{a(a+1)}\sin(at)$
Spero almeno che il procedimento sia giusto.
DOMANDA 4
Per la quarta mi viene un'espressione in Laplace enorme, facendo la trasformata unilatera viene la risposta:
$-s/(2 (s^2 + 1)) + 3/(4 (s - 1)) - 1/(4 (s + 1)) - 1/s$ dove $1/(4 (s + 1))$ è la risposta libera mentre la
parte restante è quella forzata e come si può notare c'è un polo positivo che non va d'accordo con i calcoli di prima per la stabilità BIBO che doveva ancora valere nel caso a=1. Qui c'è un esponenziale crescente... forse ho sbagliato i conti prima o forse qui...
Spero che ci siano strade più brevi che voi conoscete perché secondo me l'esercizio dovrebbe avere una soluzione breve...
"Patras":
... sono riuscito ad andare avanti ...
Rileggendo quanto da te scritto nel post iniziale, prima di andare avanti, ti consiglio di rivedere le tue risposte ai primi due quesiti.
Per quanto riguarda il terzo quesito, direi che il testo si riferisce solo al caso particolare (e non generale) di BIBO stabilità, e visto che la richiesta si riferisce solo alla componente a regime della "risposta forzata", la determinazione della $y_{f \reg}(t)$ sarà particolarmente semplice.
Per il quarto punto ti ricordo che esiste la risposta di regime permanente solo se la "risposta libera" relativa alle date condizioni iniziali converge a zero per $t->\infty$.
BTW
"Patras":
...
e che $\delta_1 (t) = \frac{d}{dt} \delta(t)$
(sto cercando di giustificare l'utilizzo di questi indici...)
Mah, dove hai visto usare quella scrittura? ... io ho sempre visto indicare la derivata con
$\delta^{\prime} (t)$
all'università l'ha indicata un prof. con l'indice positivo... ma non importa sta di fatto che mi sono accorto che ci sono tante conoscenze che mi mancano ad esempio non ho mai visto la rappresentazione con le matrici e come ricavarle... devo studiarmi questa materia da capo, speravo di poter saltare qualcosa grazie al corso di segnali ma non è il caso purtroppo...
... e per quanto riguarda il problema? Hai rivisto le tue risposte?
Per il primo quesito, basta ricordare Cartesio.
Per il secondo, andare a cercare se esiste un particolare valore di $a$ che ti permetta la cancellazione di quello zero a numeratore della funzione di trasferimento.
Per il terzo, visto che è richiesta la componente a regime della risposta forzata, ti basterà andare a ricavare modulo e fase della FDT per quella particolare pulsazione $a$ associata alla BIBO stabilità.
Per il quarto, dopo aver controllato l'asintotica convergenza a zero della risposta libera, potrai andare ad usare la FDT (in versione semplificata) per ricavarti la risposta forzata a quell'ingresso e di conseguenza la sua componente di regime permanente e infine la risposta transitoria.
Per il primo quesito, basta ricordare Cartesio.
Per il secondo, andare a cercare se esiste un particolare valore di $a$ che ti permetta la cancellazione di quello zero a numeratore della funzione di trasferimento.
Per il terzo, visto che è richiesta la componente a regime della risposta forzata, ti basterà andare a ricavare modulo e fase della FDT per quella particolare pulsazione $a$ associata alla BIBO stabilità.
Per il quarto, dopo aver controllato l'asintotica convergenza a zero della risposta libera, potrai andare ad usare la FDT (in versione semplificata) per ricavarti la risposta forzata a quell'ingresso e di conseguenza la sua componente di regime permanente e infine la risposta transitoria.
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