[Controlli Automatici] Risposta in frequenza

[peppe1992-votailprof]

Salve a tutti, vorrei capire meglio perchè per un sistema non asintoticamente stabile, non ha senso parlare di risposta in frequenza.
Grazie in anticipo

[gargio]

Secondo me perché non si può appunto applicare il teorema fondamentale della risposta in frequenza (avendo in ingresso una sinusoide ad una data frequenza, l'output è ancora una sinusoide alla stessa frequenza(sfasata, amplificata e/o attenuata)) perché non è possibile, essendo instabile, avere un andamento certo dell'uscita

[D4lF4zZI0]

Esiste tutto un teorema sulla risposta armonica ( o in frequenza ) con tanto di dimostrazione.
Per farla breve, per i sistemi asintoticamente stabili, la riposta libera gode di questa proprietà
$ lim_(t -> oo) y_l(t)=0 $ $(1)$
qualunque siano le condizioni iniziali.
Questo è sufficiente a garantire che la riposta del sistema, sollecitato con un ingresso sinusoidale, sia ancora una sinusoide, avente la stessa frequenza di quella in ingresso, ma opportunamente modulata in modulo e fase.
Se il sistema è, invece, instabile non è garantita la condizione $(1)$ per ogni condizione iniziale e, dunque, il teorema viene meno ( anche se, in generale, anche per un sistema instabile, si può trovare quella particolarissima condizione iniziale, per la quale il teorema continua a valere )

[peppe1992-votailprof]

Grazie mille a tutti.
Se invece mi viene chiesto di calcolare e tracciare la risposta a regime sempre per segnali sinusoidali.
Nel caso in cui avessi dei sistemi a stabilità marginale. La risposta la devo calcolare necessariamente utilizzando l'antitrasformata di laplace, visto che per il teorema lo posso applicare solo in caso di stabilità asintotica, giusto?

[D4lF4zZI0]

Giusto