[Controlli Automatici] Reiezione disturbo
Ho un sistema descritto dalle equazioni
\[\begin{align*}
&\dot{x}=Ax+B_u u+B_\alpha \alpha \\
&y=Cx+D_\alpha\alpha
\end{align*}\]
dove \(\alpha\) è un disturbo a gradino e le matrici sono della forma
\[A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & c & d & 0 \end{bmatrix}, \quad B_u=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ e \\ f \end{bmatrix}, \quad B_\alpha=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ g \\ h \end{bmatrix} \]
\[C=\begin{bmatrix} I_3 & 0_{3\times1}\end{bmatrix} ,\qquad D_\alpha=\begin{bmatrix}0 & -1 & 0\end{bmatrix}^T\]
si retroaziona lo stato secondo una certa matrice \(K\)
\[u=kx\]
non riesco a capire per quale motivo è necessario introdurre un integratore del tipo
\[\dot{w}=w+x_1\]
da accostare al sistema perché si possa reiettare il disturbo \(\alpha\).
\[\begin{align*}
&\dot{x}=Ax+B_u u+B_\alpha \alpha \\
&y=Cx+D_\alpha\alpha
\end{align*}\]
dove \(\alpha\) è un disturbo a gradino e le matrici sono della forma
\[A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & c & d & 0 \end{bmatrix}, \quad B_u=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ e \\ f \end{bmatrix}, \quad B_\alpha=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ g \\ h \end{bmatrix} \]
\[C=\begin{bmatrix} I_3 & 0_{3\times1}\end{bmatrix} ,\qquad D_\alpha=\begin{bmatrix}0 & -1 & 0\end{bmatrix}^T\]
si retroaziona lo stato secondo una certa matrice \(K\)
\[u=kx\]
non riesco a capire per quale motivo è necessario introdurre un integratore del tipo
\[\dot{w}=w+x_1\]
da accostare al sistema perché si possa reiettare il disturbo \(\alpha\).
Risposte
Di solito gli integratori quali essi siano, servono ad abbassare la sensitività in bassa frequenza, quindi a rigettare l'errore in retroazione, in quanto introducono dei poli nell'origine e quindi aumentano il guadagno della funzione d'anello, qual è la funzione di trasferimento nella forma canonica del sistema?
Ti ringrazio per l'interessamento.
Se ti riferisci a quella dal disturbo all'uscita allora
\[G_{\alpha y}(s)=C(sI-A)^{-1}B_\alpha+D_\alpha\]
se invece ti riferisci a quella dall'ingresso all'uscita allora
\[G_{u y}(s)=C(sI-A)^{-1}B_u\]
Hai ragione. Il discorso mi ha dato uno spunto per fare un passo in avanti. Inserendo un'azione integrale all'interno del processo si ottiene la reiezione dell'effetto di \(\alpha\) all'uscita del processo, cioè il termine \(D_\alpha\), ma non dell'effetto all'ingresso del processo, cioè il termine \(B_\alpha \alpha\). Magari per "reiezione dell'effetto di \(\alpha\)" si intende solamente "reiezione dell'effetto di \(\alpha\) all'uscita del processo".
Tuttavia il discorso ancora non regge perché, essendo \(A\) singolare, il processo dispone già di una azione integrale al suo interno, per cui è inutile andare ad introdurne di nuove.
Credo comunque di non aver bene inquadrato il contesto dell'integratore. Durante la sintesi del controllo, dopo essere passati al modello di stato tempo-discreto, si determina una retroazione dello stato ottima, nel senso che minimizza il costo quadratico
\[J(u)=\sum_{k=0}^\infty (x_k^\text{e})^\text{T}Qx_k^\text{e}+Ru_k^2\]
dove \(x_k^\text{e}=[x_k\quad w_k]^\text{T}\) è lo stato esteso del sistema comprendente l'integratore. In questi termini, probabilmente la funzione dell'integratore è quella di far in modo che il controllo annulli asintoticamente il valore dell'integrale di \(x_1\).
qual è la funzione di trasferimento nella forma canonica del sistema?
Se ti riferisci a quella dal disturbo all'uscita allora
\[G_{\alpha y}(s)=C(sI-A)^{-1}B_\alpha+D_\alpha\]
se invece ti riferisci a quella dall'ingresso all'uscita allora
\[G_{u y}(s)=C(sI-A)^{-1}B_u\]
Di solito gli integratori quali essi siano, servono ad abbassare la sensitività in bassa frequenza, quindi a rigettare l'errore in retroazione, in quanto introducono dei poli nell'origine e quindi aumentano il guadagno della funzione d'anello
Hai ragione. Il discorso mi ha dato uno spunto per fare un passo in avanti. Inserendo un'azione integrale all'interno del processo si ottiene la reiezione dell'effetto di \(\alpha\) all'uscita del processo, cioè il termine \(D_\alpha\), ma non dell'effetto all'ingresso del processo, cioè il termine \(B_\alpha \alpha\). Magari per "reiezione dell'effetto di \(\alpha\)" si intende solamente "reiezione dell'effetto di \(\alpha\) all'uscita del processo".
Tuttavia il discorso ancora non regge perché, essendo \(A\) singolare, il processo dispone già di una azione integrale al suo interno, per cui è inutile andare ad introdurne di nuove.
Credo comunque di non aver bene inquadrato il contesto dell'integratore. Durante la sintesi del controllo, dopo essere passati al modello di stato tempo-discreto, si determina una retroazione dello stato ottima, nel senso che minimizza il costo quadratico
\[J(u)=\sum_{k=0}^\infty (x_k^\text{e})^\text{T}Qx_k^\text{e}+Ru_k^2\]
dove \(x_k^\text{e}=[x_k\quad w_k]^\text{T}\) è lo stato esteso del sistema comprendente l'integratore. In questi termini, probabilmente la funzione dell'integratore è quella di far in modo che il controllo annulli asintoticamente il valore dell'integrale di \(x_1\).
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