[Controlli automatici] Progetto di un controllore
Sto cercando di capirci qualcosa su questo esercizio.
Progettare un controllore in maniera tale che:
• il sistema controllato in controreazione sia BIBO stabile e di tipo 1
• e il sistema a ciclo chiuso abbia tutti i poli con parte reale positiva minore/uguale di -0,75.
Una volta effettuata la sintesi, dire quale è la massima velocità di convergenza a zero possibile al
variare di K con il controllore scelto. Dire come sia possibile selezionare un valore di K per ottenerla.
La mia funzione di trasferimento iniziale è $P(s)= (s-1)/(s+1)^2$
Avrei proprio bisogno di capire come svolgerlo, grazie.
Progettare un controllore in maniera tale che:
• il sistema controllato in controreazione sia BIBO stabile e di tipo 1
• e il sistema a ciclo chiuso abbia tutti i poli con parte reale positiva minore/uguale di -0,75.
Una volta effettuata la sintesi, dire quale è la massima velocità di convergenza a zero possibile al
variare di K con il controllore scelto. Dire come sia possibile selezionare un valore di K per ottenerla.
La mia funzione di trasferimento iniziale è $P(s)= (s-1)/(s+1)^2$
Avrei proprio bisogno di capire come svolgerlo, grazie.
Risposte
Ho pensato ad un approccio grafico con bode...
facendo il diagramma mi accorgo che se aggiungo un polo in zero per renderlo di tipo 1 ho una pulsazione di attraversamento vicina a $10^1$ il margine di fase è circa -90 quindi dovrei anticipare la fase di almeno 100 per avere un margine di fase positivo ma anche di più, volendo, per dare maggiore stabilità al sistema.
a quel punto, una volta "sistemata " la fase dovrei verificare che il guadagno K non mi abbia spostato il punto di taglio nel diagramma delle ampiezze...e quindi compensarlo a dovere...aggiungendo a numeratore il valore che perderei con il guadagno negativo dovuto alla rete anticipatrice (penso ad una doppia rete anticipatrice)
Sono sulla strada giusta? o sto cadendo in un burrone?
Mentre invece sull'ultimo quesito riferito al K non ho ancora idee in merito...suggerimenti?
facendo il diagramma mi accorgo che se aggiungo un polo in zero per renderlo di tipo 1 ho una pulsazione di attraversamento vicina a $10^1$ il margine di fase è circa -90 quindi dovrei anticipare la fase di almeno 100 per avere un margine di fase positivo ma anche di più, volendo, per dare maggiore stabilità al sistema.
a quel punto, una volta "sistemata " la fase dovrei verificare che il guadagno K non mi abbia spostato il punto di taglio nel diagramma delle ampiezze...e quindi compensarlo a dovere...aggiungendo a numeratore il valore che perderei con il guadagno negativo dovuto alla rete anticipatrice (penso ad una doppia rete anticipatrice)
Sono sulla strada giusta? o sto cadendo in un burrone?
Mentre invece sull'ultimo quesito riferito al K non ho ancora idee in merito...suggerimenti?
Sia per l’esame dei criteri di stabilità che per il posizionamento di poli e zeri del controllore ti consiglierei di procedere con lo studio del luogo delle radici.
ah...ok grazie...cerco di capirci qualcosa...ma sei d'accordo che per renderlo di tipo uno il controllore debba essere di questa forma: $G(s)= K/s$
vero?
vero?
Deve avere un polo nell'origine, ma il resto del controllore è ancora da definire.
ho pensato di creare la mia $G(s)= (Kg)/s ((s-1)(s+1))/(s+0,75)$ in questo modo avrò la mia $F(s)=G(s)*P(s)=(Kg)/s (s-1)^2/((s+1)(s+0,75))$
in questo modo dovrei garantire stabilità asintotica e quindi bibo e avere i poli reali <= -0,75
come ti sembra?
mi rimarrebbero i due zeri a destra di zero che non so se devono essere raggiunti in qualche modo dai rami dei poli...
io credo invece che i due poli (in zero e in -0.75) si incontrino in un punto singolare e poi vadano asintoticamente all'infinito uno con un asintoto con pendenza $pi/2$ e l'altro con asintoto con una pendenza di $3pi/2$ (secondo e terzo quadrante insomma)
in questo modo dovrei garantire stabilità asintotica e quindi bibo e avere i poli reali <= -0,75
come ti sembra?
mi rimarrebbero i due zeri a destra di zero che non so se devono essere raggiunti in qualche modo dai rami dei poli...
io credo invece che i due poli (in zero e in -0.75) si incontrino in un punto singolare e poi vadano asintoticamente all'infinito uno con un asintoto con pendenza $pi/2$ e l'altro con asintoto con una pendenza di $3pi/2$ (secondo e terzo quadrante insomma)
Se avessi seguito il mio consiglio avresti ottenuto il luogo delle radici che ti sottopongo:
no ma ho usato il luogo delle radici...solo che non lo so graficare qui sul forum...
comunque se quello è il luogo delle radici della mia F (hai usato matlab per il grafico?) allora ancora non sono riuscito a "sistemarla"...come posso fare affinchè i rami che partono dai poli non vadano nel doppio zero instabile? (pensavo di averlo fatto avendo ricavato i due asintoti che ti avevo detto su)
Non credo possa eliminarli con una semplificazione...o invece si può?
Ma sei sicuro che quello sia il grafico della mia F di cui sopra? a me esce diverso calcolando punto stella, asintoti ecc... e mi sembrerebbe di essere riuscito nella richiesta... (forse questo ragionamento è sbagliato perchè non ho due asintoti ma solo uno.............)
piuttosto non saprei come rispondere all'ultimo quesito su K e sulla velocità di convergenza....
Potrei usare il criterio di Route per calcolare i valori di K? e gli estremi dell'intervallo sarebbero i valori massimi di convergenza?
edit: ho trovato il programma...si il grafico che hai postato tu è giusto...allora ho sbagliato tutto...come faccio a rendere stabile questo sistema se non posso eliminare il doppio zero in 1???
Tu come lo risolveresti?
comunque se quello è il luogo delle radici della mia F (hai usato matlab per il grafico?) allora ancora non sono riuscito a "sistemarla"...come posso fare affinchè i rami che partono dai poli non vadano nel doppio zero instabile? (pensavo di averlo fatto avendo ricavato i due asintoti che ti avevo detto su)
Non credo possa eliminarli con una semplificazione...o invece si può?
Ma sei sicuro che quello sia il grafico della mia F di cui sopra? a me esce diverso calcolando punto stella, asintoti ecc... e mi sembrerebbe di essere riuscito nella richiesta... (forse questo ragionamento è sbagliato perchè non ho due asintoti ma solo uno.............)
piuttosto non saprei come rispondere all'ultimo quesito su K e sulla velocità di convergenza....
Potrei usare il criterio di Route per calcolare i valori di K? e gli estremi dell'intervallo sarebbero i valori massimi di convergenza?
edit: ho trovato il programma...si il grafico che hai postato tu è giusto...allora ho sbagliato tutto...come faccio a rendere stabile questo sistema se non posso eliminare il doppio zero in 1???
Tu come lo risolveresti?
Ti suggerisco di provare un regolatore con $K$ negativo. Solo come riferimento considera che cancellando i due poli $(s+1)^2$ e introducendo, oltre al polo nell’origine un polo reale ad esempio: $(s+3)$ si ottiene quanto segue (K = -1).
Non credo di averti compreso...Vuoi dire provare a fare il luogo negativo?
per calcolare K non dovrei fare a caso bensì usare Route o calcolarlo esplicitamente...
ad ogni modo io devo avere tutti i poli reali minori uguali di -0.75...non mi sembra che nel modo mostrato nel tuo ultimo grafico tu abbia raggiunto l'obiettivo richiesto...o sbaglio io?
Sono giorni ormai che penso a questo esercizio e non trovo soluzioni...Vorrei vedere una soluzione...in questo modo potrei capire come trattarli...
edit: ok penso di aver capito cosa volevi dire...se guardo il luogo negativo della funzione iniziale (per $G(s)=K/s$) ovvero $P(s)=(s-1)/(s(s+1)^2$ mi accorgo che per alcuni valori negativi di k ho asintotica stabilità...(me ne accorgo in due modi o dal grafico o dal rispettivo polinomio caratteristico $dw(s)$ in quanto mi esce $-1
da qui capisco che posso arrivarci per valori di k<0...
applico quindi la rete correttrice $G(s)=K(s+1)^2/(s(s+3))$ ottenendo $F(s)=K' (s-1)/(s(s+3)$ dal polinomio caratteristico $s^2 +3s +K's -k'=0$ usando cartesio ottengo $-3
avevo anche provato a fare una traslazione con $s=s' - 0.75$ per fare in modo che il punto singolare mi si sposti a partire da -0.75 ma penso che in questo esercizio non occorra farlo in quanto F(s) ha solo un asintoto...mi confermi che questa parte è superflua? se lo faccio dal polinomio caratteristico ottengo un $k'<-27/28$ che in effetti si avvicina a quel k=-1 che avevi preso tu ma che dovrebbe essere escluso essendo $-1
Infine come posso dire quale è la massima velocità di convergenza a zero possibile al variare di K con il controllore scelto?
per calcolare K non dovrei fare a caso bensì usare Route o calcolarlo esplicitamente...
ad ogni modo io devo avere tutti i poli reali minori uguali di -0.75...non mi sembra che nel modo mostrato nel tuo ultimo grafico tu abbia raggiunto l'obiettivo richiesto...o sbaglio io?
Sono giorni ormai che penso a questo esercizio e non trovo soluzioni...Vorrei vedere una soluzione...in questo modo potrei capire come trattarli...
edit: ok penso di aver capito cosa volevi dire...se guardo il luogo negativo della funzione iniziale (per $G(s)=K/s$) ovvero $P(s)=(s-1)/(s(s+1)^2$ mi accorgo che per alcuni valori negativi di k ho asintotica stabilità...(me ne accorgo in due modi o dal grafico o dal rispettivo polinomio caratteristico $dw(s)$ in quanto mi esce $-1
da qui capisco che posso arrivarci per valori di k<0...
applico quindi la rete correttrice $G(s)=K(s+1)^2/(s(s+3))$ ottenendo $F(s)=K' (s-1)/(s(s+3)$ dal polinomio caratteristico $s^2 +3s +K's -k'=0$ usando cartesio ottengo $-3
avevo anche provato a fare una traslazione con $s=s' - 0.75$ per fare in modo che il punto singolare mi si sposti a partire da -0.75 ma penso che in questo esercizio non occorra farlo in quanto F(s) ha solo un asintoto...mi confermi che questa parte è superflua? se lo faccio dal polinomio caratteristico ottengo un $k'<-27/28$ che in effetti si avvicina a quel k=-1 che avevi preso tu ma che dovrebbe essere escluso essendo $-1
Infine come posso dire quale è la massima velocità di convergenza a zero possibile al variare di K con il controllore scelto?
Quella che ti volevo suggerire è una tipologia di controllore che ho solo provato a realizzare con un esempio numericamente semplice.
Considera che richiedendo tutti i poli con parte reale $<-0,75$ il controllore dell’esempio vedrebbe soddisfatto il requisito con poli puramente reali all’incirca con: $ -0,96> K> -1$, e per poli complessi coniugati con:$-1> K> -1,5$ (risultati che si possono ottenere facilmente senza fare traslazioni). I poli con parte reale massimamente negativa si ottengono appunto con $K=1$ al confine fra poli solo reali e complessi coniugati.
Come progetto potresti però spostare più a sinistra il polo $(s+3)$ avendo più margine di manovra con $K$ e avendo la possibilità di ottenere poli a parte reale ancora più negativa. Più questo accade più il sistema sarà veloce.
Considera che richiedendo tutti i poli con parte reale $<-0,75$ il controllore dell’esempio vedrebbe soddisfatto il requisito con poli puramente reali all’incirca con: $ -0,96> K> -1$, e per poli complessi coniugati con:$-1> K> -1,5$ (risultati che si possono ottenere facilmente senza fare traslazioni). I poli con parte reale massimamente negativa si ottengono appunto con $K=1$ al confine fra poli solo reali e complessi coniugati.
Come progetto potresti però spostare più a sinistra il polo $(s+3)$ avendo più margine di manovra con $K$ e avendo la possibilità di ottenere poli a parte reale ancora più negativa. Più questo accade più il sistema sarà veloce.
Scusami ho visto solo ora il tuo commento perchè non mi ero accorto della seconda pagina......................-.-"
comunque ho capito il tuo ragionamento a grandi linee dettato sicuramente da un'esperienza superiore e collaudata...
anche io mi accorgo che in quel modo si raggiunge l'obiettivo...ma quando grafichi a mano non è che ti puoi rendere conto a prima vista che sei riuscito a stare sotto -0.75 e siccome poi bisogna andare a calcolare gli intervalli facendo calcoli si rischia di incorrere in errori se i calcoli sono fastidiosi...oltre poi a dover calcolare i punti dei poli complessi coniugati...e l'esame non è solo questo esercizio...senza considerare che questo è solo un esempio di esercizio di una tipologia di esercizi dell'esame...quindi volevo cercare un metodo mentale standard da applicare comunque a questa tipologia di esercizi con le dovute differenze ovviamente dovute al diverso esercizio...(non è che pretendo di farli tutti uguali chiaramente)
comunque non so se la mia soluzione la puoi considerare valida...???
ad ogni modo ho sostenuto l'esame ed è andato bene...perciò ti ringrazio perchè ragionare insieme a te mi è servito in ogni caso.
comunque ho capito il tuo ragionamento a grandi linee dettato sicuramente da un'esperienza superiore e collaudata...
anche io mi accorgo che in quel modo si raggiunge l'obiettivo...ma quando grafichi a mano non è che ti puoi rendere conto a prima vista che sei riuscito a stare sotto -0.75 e siccome poi bisogna andare a calcolare gli intervalli facendo calcoli si rischia di incorrere in errori se i calcoli sono fastidiosi...oltre poi a dover calcolare i punti dei poli complessi coniugati...e l'esame non è solo questo esercizio...senza considerare che questo è solo un esempio di esercizio di una tipologia di esercizi dell'esame...quindi volevo cercare un metodo mentale standard da applicare comunque a questa tipologia di esercizi con le dovute differenze ovviamente dovute al diverso esercizio...(non è che pretendo di farli tutti uguali chiaramente)
comunque non so se la mia soluzione la puoi considerare valida...???
ad ogni modo ho sostenuto l'esame ed è andato bene...perciò ti ringrazio perchè ragionare insieme a te mi è servito in ogni caso.
E' tutto ok. Congratulazioni per il tuo esame. 
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