[Controlli Automatici, Matlab]
salve, mi trovo in difficoltà con i primi esercizi riguardante funzioni di trasferimento con tempo di salita e sovraelongazione annessa:
il problema è che non riesco a capire matematicamente come tirar fuori Ymax=(4,86) se non con la funzione step di Matlab e poi t10% e t90% perchè arrivato a y(t10) e y(t90) fin li ci sono poi non so dove devo sostituire questi valori per ottenere il tempo di salita. grazie in anticipo per le risposte
il problema è che non riesco a capire matematicamente come tirar fuori Ymax=(4,86) se non con la funzione step di Matlab e poi t10% e t90% perchè arrivato a y(t10) e y(t90) fin li ci sono poi non so dove devo sostituire questi valori per ottenere il tempo di salita. grazie in anticipo per le risposte
Risposte
La risposta indiciale e' la risposta al gradino.
La visualizzi e fai i rilievi sul grafico.
La visualizzi e fai i rilievi sul grafico.
Se la domanda era come tirar fuori i valori dal grafico di Matlab della risposta del sistema ti ha già risposto Quinzio.
Se invece la domanda è come calcolare i dati in questione direttamente dalla funzione di trasferimento, questo può essere fatto utilizzando delle formule approssimate oppure dei grafici normalizzati che sono disponibili in rete o nei libri di testo.
In questo caso si parte dallo scrivere la funzione nella forma standard applicabile al caso sottosmorzato:
$F(s)= (k*omega_n^2)/(s^2+2 zeta omega_n*s + omega_n^2)$
dove $zeta$ è definito coefficiente smorzamento ed è positivo e minore di 1 e $omega_n$ è la pulsazione naturale.
Nell'esempio assegnato $omega_n= sqrt(5/2)=1.581$, $zeta=1/(2*sqrt(5/2))=0.316$, $k=9/(5/2)=3.6$.
I grafici o le formule sono riferiti alla funzione di trasferimento standardizzata con guadagno k=1 ovvero:
$G(s)= omega_n^2/(s^2+2 zeta omega_n*s + omega_n^2)$
Consideriamo ad esempio il valore di picco. Questo può essere calcolato dal seguente grafico:
Approssimativamente per $zeta=0.316$ il grafico fornisce 0.35 di sovraelongazione rispetto al valore di regime unitario, per cui il picco sarà ymax = (1+0.35)*3.6=4.86. In maniera simile si possono ricavare gli altri indici caratteristici.
Se invece la domanda è come calcolare i dati in questione direttamente dalla funzione di trasferimento, questo può essere fatto utilizzando delle formule approssimate oppure dei grafici normalizzati che sono disponibili in rete o nei libri di testo.
In questo caso si parte dallo scrivere la funzione nella forma standard applicabile al caso sottosmorzato:
$F(s)= (k*omega_n^2)/(s^2+2 zeta omega_n*s + omega_n^2)$
dove $zeta$ è definito coefficiente smorzamento ed è positivo e minore di 1 e $omega_n$ è la pulsazione naturale.
Nell'esempio assegnato $omega_n= sqrt(5/2)=1.581$, $zeta=1/(2*sqrt(5/2))=0.316$, $k=9/(5/2)=3.6$.
I grafici o le formule sono riferiti alla funzione di trasferimento standardizzata con guadagno k=1 ovvero:
$G(s)= omega_n^2/(s^2+2 zeta omega_n*s + omega_n^2)$
Consideriamo ad esempio il valore di picco. Questo può essere calcolato dal seguente grafico:
Approssimativamente per $zeta=0.316$ il grafico fornisce 0.35 di sovraelongazione rispetto al valore di regime unitario, per cui il picco sarà ymax = (1+0.35)*3.6=4.86. In maniera simile si possono ricavare gli altri indici caratteristici.
"Quinzio":
La risposta indiciale e' la risposta al gradino.
La visualizzi e fai i rilievi sul grafico.
Ringrazio entrambi per la risposte che mi hanno aiutato a svolgere tutti gli esercizi finalmente.
Unico esercizio irrisolto è questo
dove so che la risposta parte da un valore negativo ma non so come dirlo a matlab di partire da li. infatti con il tempo di assestamento non mi trovo con la soluzione
sapete come devo fare per calcolarlo correttamente?
Quello della soluzione mi sembra il tempo di assestamento del sistema $F=3/(s+5)$ ovvero circa 3 costanti di tempo (3*0.2 s), mentre Matlab ti sta fornendo il tempo di assestamento al 5% tenendo conto della risposta inversa ovvero partendo da -1, che vale effettivamente 0.795 s.
Infatti applicando un gradino unitario per il teorema del T.V.I. il sistema parte da -1 e per il T.V.F. arriva a 3/5. Il polo è -5 e quindi la risposta al gradino del sistema assegnato è
$x(t) = (-8/5 * e^(-5t) +3/5)u(t)$
Imponendo $x(t_a) = 95/100 *3/5$ si ha
$8/5 * e^(-5t_a) =3/100$ da cui $t_a=ln(160/3)/5=0.795 s$
Infatti applicando un gradino unitario per il teorema del T.V.I. il sistema parte da -1 e per il T.V.F. arriva a 3/5. Il polo è -5 e quindi la risposta al gradino del sistema assegnato è
$x(t) = (-8/5 * e^(-5t) +3/5)u(t)$
Imponendo $x(t_a) = 95/100 *3/5$ si ha
$8/5 * e^(-5t_a) =3/100$ da cui $t_a=ln(160/3)/5=0.795 s$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo