[Controlli Automatici] Luogo delle Radici e regolatore
Devo svolgere questo esercizio:
Si consideri un processo descritto dalla funzione di trasferimento seguente:
$ G(s) = 1/(s-5) $
e si progetti un controllore $ C(s) $ tale che , in uno schema con retroazione negativa unitaria , si garantisca:
- risposta indiciale con tempo di assestamento inferiore a $ Ta = 0.2 s $
- Errore di Velocità inferiore al $ 5% $
Allora ho ragionato in questo modo:
In primis per soddisfare le specifiche statiche ( ovvero l'errore di velocità inferiore al 5% ) , ho pensato subito di introdurre un polo nell'origine (azione integrale ) in modo che il sistema , diventando di tipo 1 , possa avere un errore di velocità finito
$ G2(s) = (k/s) * (1/(s-5)) $
Successivamente ho disegnato il luogo delle radici del sistema sovrastante e controllato la correttezza con MATLAB:

Il sistema è instabile ( completamente a destra dell'asse immaginario).
- Per soddisfare la stabilità , dovrò guidare il luogo a sinistra dell'asse immaginario
- Per soddisfare le specifiche dinamiche dovrò guidare il luogo a sinistra dell'ascissa critica ( vincolata al tempo di assestamento) posizionata in -23.
Quindi ho pensato di aggiungere uno zero a sinistra dell'ascissa critica(Esempio in $z = -24$) ...ottenendo:

Il mio procedimento è corretto? se si come devo continuare ? come devo scegliere K per soddisfare le specifiche?
Si consideri un processo descritto dalla funzione di trasferimento seguente:
$ G(s) = 1/(s-5) $
e si progetti un controllore $ C(s) $ tale che , in uno schema con retroazione negativa unitaria , si garantisca:
- risposta indiciale con tempo di assestamento inferiore a $ Ta = 0.2 s $
- Errore di Velocità inferiore al $ 5% $
Allora ho ragionato in questo modo:
In primis per soddisfare le specifiche statiche ( ovvero l'errore di velocità inferiore al 5% ) , ho pensato subito di introdurre un polo nell'origine (azione integrale ) in modo che il sistema , diventando di tipo 1 , possa avere un errore di velocità finito
$ G2(s) = (k/s) * (1/(s-5)) $
Successivamente ho disegnato il luogo delle radici del sistema sovrastante e controllato la correttezza con MATLAB:

Il sistema è instabile ( completamente a destra dell'asse immaginario).
- Per soddisfare la stabilità , dovrò guidare il luogo a sinistra dell'asse immaginario
- Per soddisfare le specifiche dinamiche dovrò guidare il luogo a sinistra dell'ascissa critica ( vincolata al tempo di assestamento) posizionata in -23.
Quindi ho pensato di aggiungere uno zero a sinistra dell'ascissa critica(Esempio in $z = -24$) ...ottenendo:

Il mio procedimento è corretto? se si come devo continuare ? come devo scegliere K per soddisfare le specifiche?
Risposte
Ho risolto e se a qualcuno servisse ecco qui:
Per trovare il valore di K relativo all'intersezione del luogo con l'ascissa critica , ho eguagliato i due poli complessi coniugati ( proprio l'intersezione con l'ascissa critica a -23 da parte del luogo) con la caratteristica del sistema a ciclo chiuso;
i due poli complessi devono avere parte reale pari a -23 e generica parte immaginaria:
(s+23-jω)(s+23+jω)=s(s-5)+K(s+24)
risolvendo ed eguagliando i coefficienti ho trovato il valore di K che mi serviva .. ovvero per K maggiore di 51 che soddisfa quindi la specifica.
Per trovare il valore di K relativo all'intersezione del luogo con l'ascissa critica , ho eguagliato i due poli complessi coniugati ( proprio l'intersezione con l'ascissa critica a -23 da parte del luogo) con la caratteristica del sistema a ciclo chiuso;
i due poli complessi devono avere parte reale pari a -23 e generica parte immaginaria:
(s+23-jω)(s+23+jω)=s(s-5)+K(s+24)
risolvendo ed eguagliando i coefficienti ho trovato il valore di K che mi serviva .. ovvero per K maggiore di 51 che soddisfa quindi la specifica.