[Controlli Automatici] Linearizzazione di un sistema

[stdio93]

Buongiorno a tutti! Ho un problema con un esercizio di controlli automatici. Vi posto il testo:
Il modello (parziale) di un reattore per la polimerizzazione è descritto dalle
seguenti equazioni, dove, in variabili adimensionali, $ x_1 $ è la concentrazione del
monomero e $ x_2 $ è la concentrazione dell’iniziatore e $ u $ è la portata volumetrica
dell’iniziatore.
$ dot(x_1)(t) = 10(6 − x_1(t)) − 2x_1(t)sqrt(x_2(t) $
$ dot(x_2)(t) = 80u(t) − 10x_2(t) $
$ y(t) = x1(t) $

1. si determini lo stato di equilibrio che corrisponde all’ingresso costante
$ bar(u) $ = 0.125;
2. si determini il sistema linearizzato nell’intorno dell’equilibrio trovato;

Per quanto concerne il punto 1 nessun problema. Il vero guaio viene dal punto 2: come faccio per linearizzare il sistema? Leggo sui miei appunti che ci si deve servire degli sviluppi di Taylor, ma come? Deduco da alcuni esempi risolti che da qualche parte debba esserci una derivata, ma non ho capito bene quale procedimento seguire.
Grazie

[nessuno.nobody]

Linearizzre significa descrivere il comportamento di un sistema non lineare attorno all'equilibrio nominale, mediante un sistema lineare che approssima l'originale.
Il sistema lineare è nella classica forma, con le classiche matrici A, B, C, D.
Per trovare il valori di queste matrici, prima di tutto devi introdurre le variazioni di: variabili di stato, ingressi, uscite rispetto allo stato d'equilibrio, l'uscita d'equilibrio e l'ingresso costante.

Allora ri trovi ad avere che le nuove equazioni del tuo sistema sono:
\(\displaystyle \bar{\dot{x}} + \delta \dot{x}(t) = f( \bar{\dot{x}} + \delta x, \bar{u} + \delta u(t) )\)
\(\displaystyle \bar{y} + \delta y(t) = g( \bar{\dot{x}} + \delta x, \bar{u} + \delta u(t) )\)

Nell'ipotesi che le funzioni f e g siano abbastanza regolari, allora possono essere sviluppate in serie di Taylor.

\(\displaystyle \delta \dot{x}(t) = f(\bar{x}, \bar{y}) + \frac{d f(x,u)}{dx} |_{x = \bar{x}, u = \bar{u}} \delta x(t) + \frac{df(x,u)}{du}|_{x = \bar{x}, u = \bar{u}} \delta x(t) \)

Stessa cosa per l'uscita.

Quindi, le nuove matrici A, B, C, D, sono date per l'appunto dalle derivate parziali, calcolate in stato costante e uscita costante, della funzione di stato e della trasformata d'uscita.