[Controlli Automatici] Laplace, Fourier, risposta permanente e transitorio

[dream951]

Ciao a tutti,

Vorrei un chiarimento su questi argomenti: risposta permanente, risposta in transitorio, trasformata di Fourier, trasformata di Laplace.
Sono a conoscenza del fatto che la risposta nel dominio di Laplace comprende l'intera risposta forzata (transitorio + permanente), mentre la risposta in frequenza comprende solo la risposta permanente.
Vorrei però avere chiaro per quali passaggi matematici si arriva a tale risultato. Potete anche linkare qualche risorsa (purtroppo non ho molto tempo in quanto è periodo di esami e da una prima ricerca sul web non ho trovato risposta).

Grazie in anticipo,
dream95

[dream951]

up

[edmz]

"dream95":
Sono a conoscenza del fatto che la risposta nel dominio di Laplace comprende l'intera risposta forzata (transitorio + permanente), mentre la risposta in frequenza comprende solo la risposta permanente.

A mio modesto avviso, credo tu abbia idee piuttosto errate sulle basi della teoria dei sistemi, per cui ti consiglio di rivederle attentamente.

Molto brevemente (ci sono libri interi scritti su tale argomento), la trasf. di Fourier (FT in breve) e la trasf. di Laplace (LT) sono strumenti puramente matematici che permettono di analizzare sotto una prospettiva differente un problema: la tipica formulazione di questo, almeno per una certa classe di sistemi, avviene tramite ODE nella variabile "tempo" (DT); ad esempio molte situazioni meccaniche sono esprimibili con la notevole $\mathbf F=m\mathbf a = m \ddot \mathbf x$. I sistemi elettrici ed elettronici hanno fondamento sulle leggi di Kirchhoff, anch'esse spesso ODE. In breve, lo studio nel DT è complesso, per cui si adottano le sopracitate trasformazioni che, tra gli innumerevoli pregi, hanno la proprietà di convertire ODE in eq. algebriche. La scelta dell'una o l'altra ha naturalmente dei motivi alla base; per la teoria dei sistemi ha più senso la LT, ma non perché la FT sia sbagliata.

Per i sistemi LTI, dove la LT funziona estremamente bene, la risposta di un generico sistema può essere scomposta come un'evoluzione libera + evoluzione forzata, sia nel dominio di Laplace sia nel DT! Questo viene dall'algebra lineare. Matematica pura.
Per questo capisci che dire "la forzata nel dom. di Laplace è transitorio + permanente (più spesso chiamata di regime), mentre nel dominio della frequenza è solo permanente" non solo è sbagliato, non è proprio vero.