[Controlli Automatici] Funzione di trasferimento nello stato
Sapete dirmi la funzione di trasferimento nello stato che utilità pratica ha? Parlo di quella che si calcola utilizzando le matrici come $(sI_n-A)^(-1)B$. Nel mio testo (Bolzern) non viene approfondito ma so che ha qualche utilità nel calcolo dell'evoluzione libera e su internet non trovo nessuna dispensa con esempi esplicativi sull'argomento. Sapete aiutarmi?
Risposte
Analogamente alla funzione di trasferimento dell'uscita, ti permette di conoscere l'andamento dello stato se conosci il forzamento
Ma quella non è la matrice delle risposte impulsive nello stato? Ecco cosa centra con l'evoluzione libera dello stato?
Infatti non ti serve per ricavare la soluzione libera ma quella forzata
Il mio testo calcola prima quella matrice, poi applica il teorema della risposta impulsiva e vi sostituisce t=0 per trovare le condizioni iniziali. L'ingresso in questione è questo:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
4cos(0.5t)) & t<0 \\
0 & t\geq0
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
4cos(0.5t)) & t<0 \\
0 & t\geq0
\end{matrix}\right. \)
Il fatto che il tuo libro usi tale matrice per calcolare le condizione iniziale è un caso particolare dovuto all'esercizio che stai svolgendo, non farti fuorviare. Infatti tale matrice ti permette di conoscere lo stato in funzione del forzamento, e quindi l'evoluzione forzata. Tuttavia per l'esercizio in esame, fino all'istante $t=0 $ (istante nel quale vuoi conoscere lo stato del sistema, ovvero le condizioni iniziali che ti servono per conoscere l'evoluzione per $t>0 $), il tuo sistema si trova in regime forzato, e quindi puoi ricavare lo stato del sistema per $t=0 $ usando il teorema di risposta armonica, e ponendo nella funzione ottenuta $ t=0 $.
Dalla formula di Lagrange per calcolare lo stato in funzione dell'evoluzione forzata:
$X_(f) (s)=(sI_n-A)^(-1)BU(s)$
Per calcolare quindi lo stato che per $t<0$ ha già esaurito il transitorio ed è in evoluzione forzata, non devo moltiplicare la matrice per la trasformata dell'ingresso?
$X_(f) (s)=(sI_n-A)^(-1)BU(s)$
Per calcolare quindi lo stato che per $t<0$ ha già esaurito il transitorio ed è in evoluzione forzata, non devo moltiplicare la matrice per la trasformata dell'ingresso?
Esatto.
Poi c'è un caso particolare, ovvero quello di forzamento sinusoidale, per il quale puoi applicare il teorema di risposta armonica senza passare per le antitrasformate.
Se non vuoi applicare tale teorema, moltiplichi tale matrice per la trasformata dell'ingresso e antitrasformi.
Sono due modi diversi di risolvere il problema.
Poi c'è un caso particolare, ovvero quello di forzamento sinusoidale, per il quale puoi applicare il teorema di risposta armonica senza passare per le antitrasformate.
Se non vuoi applicare tale teorema, moltiplichi tale matrice per la trasformata dell'ingresso e antitrasformi.
Sono due modi diversi di risolvere il problema.
È questo il punto, il teorema della risposta armonica non si applica solo all'uscita data da $Y(s)=G(s)U(s)$ dove $u(t)$ è un segnale sinusoidale?
Puoi applicare tale teorema anche per conoscere l'evoluzione forzata dello stato, utilizzando al posto di $ G(s)$ (che usi per calcolare l'evoluzione forzata dell'uscita) la matrice $ (sI_n-A)^(-1)B $.
Se invece in ingresso avessi avuto un segnale costante? Come avrei dovuto calcolare la trasformata e quindi l'evoluzione libera?
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