[Controlli Automatici] Esercizio teorema di shannon
Salve a tutti, l'esercizio in questione mi da lo spettro di un segnale e devo calcolarmi una pulsazione che soddisfa il teorema di Shannon.
Il grafico è dato in Hz
ma la pulsazione chiaramente deve essere in radianti e devo diagrammare nuovamente lo spettro in rad
Volevo chiedervi come muovermi per quanto riguarda il grafico.
La banda del segnale è 15 hz
ora se ho $15 Hz$ in radianti sono $30pi$ radianti.
$w_s>2w_b$
Quindi se la mia banda è $94.24 rad$
Posso scegliere una qualsiasi pulsazione, ad esempio 110 rad/sec.
A lezione avevo sentito parlare di cambio di scala quando si va a rappresentare il segnale nel passaggio da herz a radianti.
Non ho ben capito a cosa si riferisce.
Secondo me se il segnale campionato che dovro disegnare deve avre l'attenuazione di $1/T$ e per questo cambia l'ampiezza .
Grazie per chi mi aiuta
Il grafico è dato in Hz
ma la pulsazione chiaramente deve essere in radianti e devo diagrammare nuovamente lo spettro in rad
Volevo chiedervi come muovermi per quanto riguarda il grafico.
La banda del segnale è 15 hz
ora se ho $15 Hz$ in radianti sono $30pi$ radianti.
$w_s>2w_b$
Quindi se la mia banda è $94.24 rad$
Posso scegliere una qualsiasi pulsazione, ad esempio 110 rad/sec.
A lezione avevo sentito parlare di cambio di scala quando si va a rappresentare il segnale nel passaggio da herz a radianti.
Non ho ben capito a cosa si riferisce.
Secondo me se il segnale campionato che dovro disegnare deve avre l'attenuazione di $1/T$ e per questo cambia l'ampiezza .
Grazie per chi mi aiuta
Risposte
Per il teorema di Shannon devi campionare almeno a $f_s=30Hz$.
$\omega_s =2\pif_s=60\pi$
Tutto qui, non devi fare altro.
Lo spettro del segnale campionato é semplicemente (nel caso ideale) lo spettro del segnale ripetuto infinite volte e centrato alle frequenze $nf_s$ con $n in ZZ$. O meglio lo spettro del segnale campionato è la convolutions dello spettro che hai con un treno di Delta di Dirac centrate a frequenze multiple di $f_s$
Ti consiglio di seguire un libro e guardare bene queste cose perché sono veramente alla base di tutti gli argomenti
$\omega_s =2\pif_s=60\pi$
Tutto qui, non devi fare altro.
Lo spettro del segnale campionato é semplicemente (nel caso ideale) lo spettro del segnale ripetuto infinite volte e centrato alle frequenze $nf_s$ con $n in ZZ$. O meglio lo spettro del segnale campionato è la convolutions dello spettro che hai con un treno di Delta di Dirac centrate a frequenze multiple di $f_s$
Ti consiglio di seguire un libro e guardare bene queste cose perché sono veramente alla base di tutti gli argomenti
per quanto riguarda il disegno dello spettro del segnale campionato dovrò disegnarlo con un attenuazione di $1/T$?
Se è cosi vuol dire che lo spettro di partenza è il segnale originario ricostruito
Se è cosi vuol dire che lo spettro di partenza è il segnale originario ricostruito
Onestamente non capisco perché dovresti disegnarlo attenuato. Qual è la giustificazione matematica, o anche semplicemente intuitiva, dietro questa cosa?
A cosa sarebbe dovuta questa perdita di potenza del segnale?
Ora non so all’interno di che corso di laurea tu stia seguendo questo corso, ma se si tratta di elettronica/informatica ti consiglio di studiare queste cose da un libro, perché secondo me sono concetti veramente fondamentali.
“Signals and Systems” ( Oppenheim - Willsky ) penso sia uno dei migliori testi che ho avuto. Dai un’occhiata al capitolo 7 (“Sampling”) se hai già confidenza con i concetti di sistema LTI e trasformata di Fourier.
A cosa sarebbe dovuta questa perdita di potenza del segnale?
Ora non so all’interno di che corso di laurea tu stia seguendo questo corso, ma se si tratta di elettronica/informatica ti consiglio di studiare queste cose da un libro, perché secondo me sono concetti veramente fondamentali.
“Signals and Systems” ( Oppenheim - Willsky ) penso sia uno dei migliori testi che ho avuto. Dai un’occhiata al capitolo 7 (“Sampling”) se hai già confidenza con i concetti di sistema LTI e trasformata di Fourier.
Forse con un piccolo disegno mi spiego meglio
Se campioni il segnale verde ottieni il segnale rosso. Poi se filtri il segnale rosso con un filtro passa basso (detto filtro ricostruttore) ottieni nuovamente il segnale verde. Da questo intuisci anche il significato del teorema di Shannon. Se la frequenza di campionamento é meno di due volte la banda le repliche dello spettro si sovrappongono sommandosi e non puoi più ricostruire il segnale originario.
Chiaramente qui stiamo parlando di un caso ideale, in realtà il supporto di qualsiasi spettro é sempre illimitato, e quindi campionando si genera un effetto detto aliasing. Per questo motivo prima di campionare si utilizza sempre un filtro anti aliasing.
Ma il discorso comunque é molto più lungo e complesso per questo ti consiglio un testo di riferimento
Se campioni il segnale verde ottieni il segnale rosso. Poi se filtri il segnale rosso con un filtro passa basso (detto filtro ricostruttore) ottieni nuovamente il segnale verde. Da questo intuisci anche il significato del teorema di Shannon. Se la frequenza di campionamento é meno di due volte la banda le repliche dello spettro si sovrappongono sommandosi e non puoi più ricostruire il segnale originario.
Chiaramente qui stiamo parlando di un caso ideale, in realtà il supporto di qualsiasi spettro é sempre illimitato, e quindi campionando si genera un effetto detto aliasing. Per questo motivo prima di campionare si utilizza sempre un filtro anti aliasing.
Ma il discorso comunque é molto più lungo e complesso per questo ti consiglio un testo di riferimento
Allora lo spettro l'ho sempre calcolato in questo modo.
$X(jw)=1/T\sum_0^oo X(jw-jnw_s)$
Questo io lo definisco: spettro del segnale campionato, che ha un attenuazione di $1/T$. Da questo spettro per isolare la prima replica, si ha il filtraggio con un passabasso ideale che ha valore pari a $T$
Per questo dico:
nel momento in cui disegnerò il mio spettro del segnale campionato, dovrò considerarlo di $1/T$
quindi campionando a $60pi$ ho un $T=0.03$
lo spettro in ampiezza sara di $1/0.03=33.33$
da qui vado a filtrare il segnale con il passabasso e ritorno al segnale di partenza.
$X(jw)=1/T\sum_0^oo X(jw-jnw_s)$
Questo io lo definisco: spettro del segnale campionato, che ha un attenuazione di $1/T$. Da questo spettro per isolare la prima replica, si ha il filtraggio con un passabasso ideale che ha valore pari a $T$
Per questo dico:
nel momento in cui disegnerò il mio spettro del segnale campionato, dovrò considerarlo di $1/T$
quindi campionando a $60pi$ ho un $T=0.03$
lo spettro in ampiezza sara di $1/0.03=33.33$
da qui vado a filtrare il segnale con il passabasso e ritorno al segnale di partenza.
Ah ok scusami non avevo capito la domanda, tu parlavi dello spettro del segnale campionato. Sí ogni replica è attenuata di 1/T rispetto al segnale originario. Poi solitamente il filtro ricostruttore è una porta di ampiezza $2f_b$ é altezza T e quindi ottieni nuovamente il segnale originario senza attenuazione
Appunto dico, quindi ai fini dell'esercizio, devo disegnare l'ampiezza dello spettro del segnale piu grande , perché quello che mi viene fornito con l'esercizio è già il segnale filtrato, perché è presente solo la replica fondamentale. Ragion per cui l'attenuazione già è stata compensata con il filtro
dipende da come il tuo professore ha definito il filtro ricostruttore. Se lo ha definito con altezza T allora va bene quello che dici, ma c’è chi lo definisce con altezza 1, e in quel caso devi disegnarlo scalato di 1/T.
Il cambio di scala però avviene con il campionamento, non passando da Hertz a Radianti, era quella la parte che non mi tornava.
Il cambio di scala però avviene con il campionamento, non passando da Hertz a Radianti, era quella la parte che non mi tornava.
sul libro che uso io, Bonivento, Melchiorri Zanasi, Sistemi di controllo digitale il filtro ha ampiezza $T$
per $-w_s/2<=\omega <=w_s/2$
per $-w_s/2<=\omega <=w_s/2$
ok allora se vale T per $\omega in [-\omega_s/2, \omega_s/2]$ o equivalentemente per $f in [-f_s,f_s]$ e 0 altrove, quello che ottieni alla fine (sempre parlando di caso ideale) è il segnale iniziale.
Però passando dalla frequenza alla pulsazione angolare, non c’è alcun riscalamento sull’asse verticale.
per fare un parallelo, immagina di avere il grafico di una funzione che descrive la temperatura in K di un filo di metallo, in funzione della posizione, con lo 0 messo al centro del filo. Se in 0 la temperatura vale 100 gradi, sarà sempre uguale indipendentemente che sull’asse x tu ci metta la lunghezza in cm o in inch
Però passando dalla frequenza alla pulsazione angolare, non c’è alcun riscalamento sull’asse verticale.
per fare un parallelo, immagina di avere il grafico di una funzione che descrive la temperatura in K di un filo di metallo, in funzione della posizione, con lo 0 messo al centro del filo. Se in 0 la temperatura vale 100 gradi, sarà sempre uguale indipendentemente che sull’asse x tu ci metta la lunghezza in cm o in inch
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