Controlli Automatici: dualità e progetto osservatore
Ciao a tutti,
Allora.. sto cercando di fare chiarezza sulla materia mettendo insieme varie parti. Ergo, cercherò di essere il più breve possibile e non fare troppa confusione.
Partiamo dal fatto che, dato un sistema dinamico lineare $Sigma$:
${(dotx(t) = Ax(t) + Bu(t)), (y(t) = Cx(t) + Du(t)):}$
Si definisce sistema duale il sistema $Sigma_D$:
${(dotz(t) = A^Tz(t) + C^Tv(t)), (rho(t) = B^Tz(t) + D^Tv(t)):}$
La teoria del controllo ci dice inoltre che:
$Sigma$ stabile -> $Sigma_D$ stabile
$Sigma$ completamente controllabile <-> $Sigma_D$ completamente ricostruibile
$Sigma$ completamente ricostruibile <-> $Sigma_D$ completamente controllabile
$Sigma$ completamente osservabile <-> $Sigma_D$ completamente raggiungibile
$Sigma$ completamente raggiungibile <-> $Sigma_D$ completamente osservabile
Ora, retroazionando lo stato con una matrice $K$ sul ramo in retroazione, si ottiene il sistema:
$dotx(t) = (A+BK)x(t) + Bu(t)$ (ometto l'espressione dell'uscita in quanto irrilevante..)
Un bel teorema ci dice che:
Si consideri il sistema lineare stazionario $S = (A, B, C, D)$ completamente raggiungibile. Per ogni polinomio monico $p(lambda)$ di grado n (con n = dimensione di A) esiste una matrice $K$ tale che il polinomio caratteristico della matrice di stato $A + BK$ del sistema retroazionato coincide proprio con $p(lambda)$.
In altre parole se le matrici (A, B) rendono il sistema completamente raggiungibile è possibile allocare a piacimento gli autovalori che governano lo stato.
Passiamo ora al progetto di un osservatore. Supponiamo di voler progettare uno stimatore in reotroazione (identità) il cui stato stimato sia:
$dot hat x(t) = (A+LC) hat x(t) + Bu(t) - Ly(t)$
In questo caso sappiamo che l'errore è governato da:
$dot e(t) = (A+LC)e(t)$
Ora nasce l'interessa di sapere quali siano i modi che regolano l'errore, e cioè gli autovalori della matrice $(A+LC)$.
Quello che non capisco è la seguente affermazione che trovo sul testo su cui sto studiando:
Per le proprietà dei sistemi duali, il polinomio caratteristico della matrice $(A+LC)$ può essere assegnato arbitrariamente se e solo se la coppia $(A^T, C^T)$ è completamente raggiungibile, ovvero se e solo se la coppia $(A, C)$ è completamente osservabile.
Questa affermazione non riesco a comprenderla!
Il sistema $dot e(t) = (A+LC)e(t)$ possiamo vederlo come un sistema dove $e$ rappresenta lo stato $x$, quindi:
$dot x(t) = (A+LC)x(t)$
Chiamiamo inoltre $P = (A+LC)$
Abbiamo così ottenuto il sistema $dot x(t) = Px(t)$
Secondo quanto detto prima, i modi di $x$ sono assegnabili arbitrariamente se $P$ è completamente raggiungibile, ergo se $(A+LC)$ è completamente raggiungibile, quindi $(A, C)$ completamente raggiungibile... perchè invece il testo dice che $(A^T, C^T)$ dev'essere raggiungibile e quindi $(A, C)$ osservabile?!
Grazie a qualsiasi anima pia arrivi fino a qui
Allora.. sto cercando di fare chiarezza sulla materia mettendo insieme varie parti. Ergo, cercherò di essere il più breve possibile e non fare troppa confusione.
Partiamo dal fatto che, dato un sistema dinamico lineare $Sigma$:
${(dotx(t) = Ax(t) + Bu(t)), (y(t) = Cx(t) + Du(t)):}$
Si definisce sistema duale il sistema $Sigma_D$:
${(dotz(t) = A^Tz(t) + C^Tv(t)), (rho(t) = B^Tz(t) + D^Tv(t)):}$
La teoria del controllo ci dice inoltre che:
$Sigma$ stabile -> $Sigma_D$ stabile
$Sigma$ completamente controllabile <-> $Sigma_D$ completamente ricostruibile
$Sigma$ completamente ricostruibile <-> $Sigma_D$ completamente controllabile
$Sigma$ completamente osservabile <-> $Sigma_D$ completamente raggiungibile
$Sigma$ completamente raggiungibile <-> $Sigma_D$ completamente osservabile
Ora, retroazionando lo stato con una matrice $K$ sul ramo in retroazione, si ottiene il sistema:
$dotx(t) = (A+BK)x(t) + Bu(t)$ (ometto l'espressione dell'uscita in quanto irrilevante..)
Un bel teorema ci dice che:
Si consideri il sistema lineare stazionario $S = (A, B, C, D)$ completamente raggiungibile. Per ogni polinomio monico $p(lambda)$ di grado n (con n = dimensione di A) esiste una matrice $K$ tale che il polinomio caratteristico della matrice di stato $A + BK$ del sistema retroazionato coincide proprio con $p(lambda)$.
In altre parole se le matrici (A, B) rendono il sistema completamente raggiungibile è possibile allocare a piacimento gli autovalori che governano lo stato.
Passiamo ora al progetto di un osservatore. Supponiamo di voler progettare uno stimatore in reotroazione (identità) il cui stato stimato sia:
$dot hat x(t) = (A+LC) hat x(t) + Bu(t) - Ly(t)$
In questo caso sappiamo che l'errore è governato da:
$dot e(t) = (A+LC)e(t)$
Ora nasce l'interessa di sapere quali siano i modi che regolano l'errore, e cioè gli autovalori della matrice $(A+LC)$.
Quello che non capisco è la seguente affermazione che trovo sul testo su cui sto studiando:
Per le proprietà dei sistemi duali, il polinomio caratteristico della matrice $(A+LC)$ può essere assegnato arbitrariamente se e solo se la coppia $(A^T, C^T)$ è completamente raggiungibile, ovvero se e solo se la coppia $(A, C)$ è completamente osservabile.
Questa affermazione non riesco a comprenderla!
Il sistema $dot e(t) = (A+LC)e(t)$ possiamo vederlo come un sistema dove $e$ rappresenta lo stato $x$, quindi:
$dot x(t) = (A+LC)x(t)$
Chiamiamo inoltre $P = (A+LC)$
Abbiamo così ottenuto il sistema $dot x(t) = Px(t)$
Secondo quanto detto prima, i modi di $x$ sono assegnabili arbitrariamente se $P$ è completamente raggiungibile, ergo se $(A+LC)$ è completamente raggiungibile, quindi $(A, C)$ completamente raggiungibile... perchè invece il testo dice che $(A^T, C^T)$ dev'essere raggiungibile e quindi $(A, C)$ osservabile?!
Grazie a qualsiasi anima pia arrivi fino a qui
Risposte
Io la vedo così: la matrice $(A+LC)$ ha come duale $(A^T+C^TL^T)=(A^D+B^Dk^D)$, analoga alla matrice di un sistema $Sigma(A^D,B^D)$ retroazionato dallo stato con matrice di retroazione $k^D=L^T$. Progettare un osservatore asintotico dello stato per un sistema equivale ad allocare gli autovalori per il sistema duale, il che può essere fatto sse $Sigma(A^D,B^D)=Sigma(A^T,C^T)$ è raggiungibile $rArr$ $Sigma(A,C)$ dev'essere osservabile.
"elgiovo":
Io la vedo così: la matrice $(A+LC)$ ha come duale $(A^T+C^TL^T)=(A^D+B^Dk^D)$, analoga alla matrice di un sistema $Sigma(A^D,B^D)$ retroazionato dallo stato con matrice di retroazione $k^D=L^T$. Progettare un osservatore asintotico dello stato per un sistema equivale ad allocare gli autovalori per il sistema duale, il che può essere fatto sse $Sigma(A^D,B^D)=Sigma(A^T,C^T)$ è raggiungibile $rArr$ $Sigma(A,C)$ dev'essere osservabile.
Hmm.. il tuo ragionamento fila, non c'è dubbio
Grazie!
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