[Controlli automatici] Determina Risposta al segnale

[bibus12]

Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di Controlli Automatici.
Dato un sistema con funzione di trasferimento $ G(s) = \frac{1}{s+1}$ ,a partire da condizioni iniziali nulle, determinare la risposta y(t),t [0,+infinito) al segnale di ingresso così definito:



\left\{\begin{matrix}
1+2t ....... For 0\leqslant t\leqslant 0 \\
t-1 ........ For t\geq 1
\end{matrix}\right.




Per trovare y(t) al primo tratto 'antitrasformata di (funzione di trasferimento*trasformata dell'entrata), che mi risulta essere corretta, $ y(t) = 2t -1 + e^{-t} $
Da qui in poi non so come procedere. Qualcuno può aiutarmi??
Grazie in anticipo!!

[Nietzsche610]

Scusa, ho dei problemi a capire come sia fatto l'ingresso! Potresti scriverlo meglio?

[bibus12]

Scusa :/ ho fatto casino in latex!!

[tex]u(t)=\begin{cases}
1+2t & \text{ if } 0\leq t <1 \\
t-1 & \text{ if } t\geq 1
\end{cases}[/tex]

[Nietzsche610]

Dunque, vale la solita relazione $Y(s)=G(s)U(s)$.

$U(s)=\mathcal(L){u(t)}(s)=\int_{0}^(+\infty)u(t)e^(-st)dt=\int_{0}^(1)(1+2t)e^(-st)dt+\int_{1}^(+\infty)(t-1)e^(-st)dt$.

Il primo integrale lo puoi risolvere per parti in questo modo:

$int_{0}^1(1+2t)e^(-st)dt=[-1/se^(-st)]_{0}^1-2\int_{0}^1st[-e^(-st)/s]dt=...=1/s-e^(-s)/s+2-2e^(-s)(s+1)$

Il secondo integrale $I(s)$ lo puoi risolvere immediatamente, in quanto discerne dalle seguenti proprietà della trasformata:

$\mathcal(L){f(t-\xi)1(t-\xi)}(s)=e^(-\xis)\mathcal(L){f(t)}(s)$

$\mathcal(L){tf(t)}(s)=-d/(ds)\mathcal(L){f(t)}(s)$

$->I(s)=\mathcal(L){(t-1)1(t-1)}(s)=e^(-s)\mathcal(L){t}(s)=-e^(-s)d/(ds)\mathcal(L){1(t)}(s)=-e^(-s)d/(ds)(1/s)=e^(-s)/s^2$.

Quindi:

$U(s)=(1-e^(-s))/s-2e^(-s)(s+1)+e^(-s)/s^2$.

$y(t)=\mathcal(L)^(-1){G(s)U(s)}(t)=\mathcal(L)^(-1){(1-e^(-s))/(s(s+1))-2e^(-s)+e^(-s)/(s^2(s+1))}(t)$.

Spero di esserti stato d'aiuto!