[Controlli Automatici] Da cosa dipende la sovraelongazione?
Salve amici, ho il seguente problema : data la seguente f.di trasferimento \( G(s)= 1/s-3 \) si vuole progettare un controllore che consente di avere a ciclo chiuso un \( Ta1<=2sec \) e di un errore di velocità \( ev<=10 \) %
Ho aggiunto un controllore proporzionale, ho fatto il luogo delle radci e dopo una serie di calcoli , affinché il mio sistema fosse as. stabile, ho aggiunto uno zero e la mia nuova funzione è diventata \( L(s)=k(s+3)/s(s-3) \)
Dopo tanti calcoli sono arrivato al punto di capire che per soddisfare tutte le specifiche k lo prendiamo >10
Ho calcolato su matlab la risposta indiciale del mio sistema ed ho notato che si ha una sovraelongazione. Mi potete dire per quale motivo si presenta questa sovraelongazione?Grazie
Ho aggiunto un controllore proporzionale, ho fatto il luogo delle radci e dopo una serie di calcoli , affinché il mio sistema fosse as. stabile, ho aggiunto uno zero e la mia nuova funzione è diventata \( L(s)=k(s+3)/s(s-3) \)
Dopo tanti calcoli sono arrivato al punto di capire che per soddisfare tutte le specifiche k lo prendiamo >10
Ho calcolato su matlab la risposta indiciale del mio sistema ed ho notato che si ha una sovraelongazione. Mi potete dire per quale motivo si presenta questa sovraelongazione?Grazie
Risposte
Si presenta la sovraelongazione in quanto la fdt a ciclo chiuso presenta, al denominatore, un termine trinomio.
Ciao D4lF4zZI0, io mi sto impazzendo a fare gli esercizi per sintesi a tentavi per progettare controllori che soddisfino specifiche statiche e dinamiche. Ma non esiste un pdf in cui ci sono tutte le regole per poterprogettare un controllore in maniera facile?
Per esempio sto facendo questo esercizio: dato questo impianto, \( G(s)= 1/s(s+2) \) progettare un controllore in retroazione tale che siano soddisfatte le seguenti specifiche:
ev<=35%
S%<=4.3%
Ta1<=3.45s
per soddisfare l'errore di velocità dovrei avere almeno un polo nell'origine ma siccome già c'e nell'impianto, non lo metto ed ho per il momento solo un controllore di tipo proporzionale K.
A questo punto, dopo aver letto un casino di roba sono arrivato al punto che per la fisica realizzabilità il controllore non può avere un grado relativo negativo, e visto che ho un polo stabile lo posso cancellare e aggiungere uno zero nel mio caso (s+2).
Per la fisica realizzabilità devo mettere anche un polo....e visto che ho la specifica sul tempo di assestamento, mi sono calcolato l'ascissa prima della quale devono trovarsi i poli dominanti, cioè a sinistra del punto -1.33
A questo punto uso la regola della punteggiatura e mi trovo il polo che dovrebbe essere a -2.66 , per stare più sicuri lo metto in -3 Quindi per il momento ho un controllore pari a :
C(s)= K (s+2)/(s+3)
é corretto tutto il rgionemanto da me fatto?
ev<=35%
S%<=4.3%
Ta1<=3.45s
per soddisfare l'errore di velocità dovrei avere almeno un polo nell'origine ma siccome già c'e nell'impianto, non lo metto ed ho per il momento solo un controllore di tipo proporzionale K.
A questo punto, dopo aver letto un casino di roba sono arrivato al punto che per la fisica realizzabilità il controllore non può avere un grado relativo negativo, e visto che ho un polo stabile lo posso cancellare e aggiungere uno zero nel mio caso (s+2).
Per la fisica realizzabilità devo mettere anche un polo....e visto che ho la specifica sul tempo di assestamento, mi sono calcolato l'ascissa prima della quale devono trovarsi i poli dominanti, cioè a sinistra del punto -1.33
A questo punto uso la regola della punteggiatura e mi trovo il polo che dovrebbe essere a -2.66 , per stare più sicuri lo metto in -3 Quindi per il momento ho un controllore pari a :
C(s)= K (s+2)/(s+3)
é corretto tutto il rgionemanto da me fatto?
Stai seguendo un metodo che non conosco 
per cui non saprei dirti.
Continua l'esercizio calcolandoti il valore di $k$ e poi verifichiamo se soddisfa le specifiche, di più non saprei dirti
per cui non saprei dirti.Continua l'esercizio calcolandoti il valore di $k$ e poi verifichiamo se soddisfa le specifiche, di più non saprei dirti
Allora io lo risolverei in questo modo.
Per quanto riguarda l'errore a regime, supponendo un ingresso a gradino unitario, si ha:
$ E(s)=(R(s))/(1+C_r(s)P(s))=(1/s)/(1+k_c/s^h1/(s(s+2)))=1/s(s^(h+1)(s+2))/(s^(h+1)(s+2)+k_c) $
A regime si ha:
$ e(oo)=lim_(s -> 0)sE(s)= lim_(s -> 0)(s^(h+1)(s+2))/(s^(h+1)(s+2)+k_c)<=0.35 $
questo è vero solo quando $h=-1$ e $k_c>=3.71$.
Dunque, supponendo che $k_c=50$, la parte di controllore a regime è $C_r(s)=50s$, nel seguito supporrò ( tanto al fine della fdt non cambia nulla ) che $C_r(s)=50$ mentre il processo vale $P=1/(s+2)$.
La fdt a ciclo aperto vale $F=C_r(s)P(s)=50/(s+2)$ i cui diagrammi di Bode sono:
Adesso ricordando le seguenti relazioni ( che credo trovi su tutti i libri ed anche in rete ):
$ s%=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2)) $
e
$ T_(a1)~~ 3/(zetaomega_n) $
possiamo calcolare alcune informazioni utili:
$1)$ $ s%=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2)))rArr 4.3>=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2))) rArr zeta>=0.7 $
$2$ $ T_(a1)~~ 3/(zetaomega_n) rArr 3.45>=3/(zetaomega_n) rArr zetaomega_n>=0.87 $
$3$ ricorda che il margine di fase è legato allo smorzamento dalla relazione $m_phi=100zeta=100*0.7=70°$
Dunque, scegliendo come pulsazione di taglio la pulsazione $omega_tau=2 (rad)/s$, per ottenere il margine di fase di $70°$ occorrerà ( come si vede dai diagrammi ) ridurre il modulo di $M=-25 dB$ e la fase di $phi=-65°$
Impiegando le formule di inversione, la rete ritardatrice necessaria vale $C_(rit)=(1+0.2021s)/(1+9.577s)$
Dunque, la fdt ad anello aperto vale $F=50/(s+2)(1+0.2021s)/(1+9.577s)$ i cui diagrammi di Bode sono:
ed abbiamo verficato di aver rispettato il margine di fase alla pulsazione scelta.
Fatto questo, valutiamo l'uscita nel dominio del tempo ( non riporto lo schema simulink penso tu lo sappia costruire ):
Osservando l'uscita, si vede subito che abbiamo rispettato tutte le specifiche assegnate; infatti:
1) la sovraelongazione vale $2.4%<4.3%$
2) il tempo di assestamento è di circa $3s<3.45s$
3) l'errore a regime vale circa il $4%<35%$
Per quanto riguarda l'errore a regime, supponendo un ingresso a gradino unitario, si ha:
$ E(s)=(R(s))/(1+C_r(s)P(s))=(1/s)/(1+k_c/s^h1/(s(s+2)))=1/s(s^(h+1)(s+2))/(s^(h+1)(s+2)+k_c) $
A regime si ha:
$ e(oo)=lim_(s -> 0)sE(s)= lim_(s -> 0)(s^(h+1)(s+2))/(s^(h+1)(s+2)+k_c)<=0.35 $
questo è vero solo quando $h=-1$ e $k_c>=3.71$.
Dunque, supponendo che $k_c=50$, la parte di controllore a regime è $C_r(s)=50s$, nel seguito supporrò ( tanto al fine della fdt non cambia nulla ) che $C_r(s)=50$ mentre il processo vale $P=1/(s+2)$.
La fdt a ciclo aperto vale $F=C_r(s)P(s)=50/(s+2)$ i cui diagrammi di Bode sono:
Adesso ricordando le seguenti relazioni ( che credo trovi su tutti i libri ed anche in rete ):
$ s%=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2)) $
e
$ T_(a1)~~ 3/(zetaomega_n) $
possiamo calcolare alcune informazioni utili:
$1)$ $ s%=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2)))rArr 4.3>=e^((-pizeta)/(sqrt(1-zeta^2))) rArr zeta>=0.7 $
$2$ $ T_(a1)~~ 3/(zetaomega_n) rArr 3.45>=3/(zetaomega_n) rArr zetaomega_n>=0.87 $
$3$ ricorda che il margine di fase è legato allo smorzamento dalla relazione $m_phi=100zeta=100*0.7=70°$
Dunque, scegliendo come pulsazione di taglio la pulsazione $omega_tau=2 (rad)/s$, per ottenere il margine di fase di $70°$ occorrerà ( come si vede dai diagrammi ) ridurre il modulo di $M=-25 dB$ e la fase di $phi=-65°$
Impiegando le formule di inversione, la rete ritardatrice necessaria vale $C_(rit)=(1+0.2021s)/(1+9.577s)$
Dunque, la fdt ad anello aperto vale $F=50/(s+2)(1+0.2021s)/(1+9.577s)$ i cui diagrammi di Bode sono:
ed abbiamo verficato di aver rispettato il margine di fase alla pulsazione scelta.
Fatto questo, valutiamo l'uscita nel dominio del tempo ( non riporto lo schema simulink penso tu lo sappia costruire ):
Osservando l'uscita, si vede subito che abbiamo rispettato tutte le specifiche assegnate; infatti:
1) la sovraelongazione vale $2.4%<4.3%$
2) il tempo di assestamento è di circa $3s<3.45s$
3) l'errore a regime vale circa il $4%<35%$
grazie mille ...non so davvero come ringraziarti...ora me lo leggo con attenzione e ti faccio sapere se mi è tutto chiaro. 
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